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1、由此可证明 对体系任意态矢量都成立 。8.3 量子数l的升降算符 一、升降算符的寻找根据讨论升降算符的经验，若R（不是矢径） 是使|lm中l改变1而m保持不变的算符，则可令这样就有1同理当a=-2l 时，注意到当a=2(l+1)时，利用上式可得即 之间 满足下列对易关系2利用上述本征方程的意义，可以将R|lm写为可见R对于|lm的作用有关于量子数l上升算符 和下降算符的性质。设上升算符记为R，下降算符记为Q，则有下面看R,Q到底是什么形式。3与式 比较，形式上多了第一项。注意方向算符N与L2的对易关系：另外由式 得从这两式可以看出，若取一个矢量 选择适当的b,c，有可能使R满足式经过试验发现
2、正好满足上式 。而正好满足4比如对 分量，因为 ，则有当然可以验证， 等不满足上式对易式。所 以 正是我们要寻找的 的量子数 的 上升和下降算符。 5二、算符R,Q各分量对|lm的作用估计与升降算符有关。令很容易证明例如证明第一式6同我们意料到的一样， 分别是l的上 升和下降算符，而且 分别是m的上升 算符， 是m的下降算符，可用下述公式表示以及前面所得到的公式7可用计算出R,Q对|lm的作用结果。特别提示：在求R,Q对|lm的作用时，要用 到下述已知的公式 （1）R,Q的分量表示；（2） 以及对|lm的作用公式；（3） 以及对|lm的作用公式；8推导过程相对复杂一些，这里只给出结果：98.4
3、 球谐函数下面取位置表象，求轨道角动量本征矢量 |lm的具体表达式。一、位置表象中轨道角动量算符的表示 此时R，即 成为相乘算符， 对 有10方向算符N对态函数的作用是一个相乘算符而注意：以上这些算符等式，只有左右双方 作用在任意态函数上才成立，而且都是对 部分作用的,与r 无关；方向算符是相乘算符， 作用起来很方便。而11二、轨道角动量本征函数的计算1. 本征函数所满足的基本方程 轨道角动量本征函数在位置表象中记为所满足的方程可记为通常方法是解上述微分方程得到 。但 实际上知道了一个具体的 ，利用升降算 符作用即可得到其它了。122. 本征函数的求解（1）求 取l=m=0, 所满足的方程就写
4、为容易看出第二式的通解为（只对 求导） 将此式代入第一式得13此方程的通解为因为 在 附近有限，必须取所以 ，即利用归一化条件很容易得到14利用方向算符 可依次得出15下面举例证明第一式。利用有所以16与此类似，利用可由 得出得到了 这两个公式之后，只要用 依次对 作用，或用 依次对 作用，就可得 出l固定的全部 。这样1718类似地，用 依次对 作用，可得利用教材中所证明的公式（这里不再证明）可把 写成两种形式（前面已经用 分别得出）19它们是轨道角动量 的共同本征函数 的普遍表达式。20由于以上两式是从l=0出发得出的，所以式中l 只能取零及所有整数，故m也只能取整数，即在数学上称为球谐函
5、数，全部球谐函数 在单位球面上对于单值有限的任何函数 构 成完全函数组。前几个球谐函数是21 222. 自旋空间：8.6 自旋和自旋波函数 一、自旋空间 1. 自旋粒子的自旋态是粒子的内禀状态，与经 典的“旋”是两个概念。自旋无法用以前全基于位形空间Hilbert空间的矢量来描述，必须另外建立一个描 述自旋态的矢量空间，这个空间我们称之 为自旋空间。23而以前讨论的抽象的Hilbert空间或函数空 间可以称之为位置Hilbert空间或位置空间。 完整地描述单粒子态的Hilbert空间是这两者的直积空间。3. 自旋角动量算符S：S是个矢量厄米算符，其分量服从角动量的对易关系： 通常取 作为对易算
6、符的完备组，其共 同本征矢量为 ，即有 24其中4. 自旋量子数的取值自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同的特点：（1）非复合粒子自旋量子数s只能取一个值，比如1）电子 s=1/2252）在基本稳定的粒子态中，所有的轻子和 以外的所有重子s=1/23） s=3/2 4）介子 s=05）光子 s=1（2）复合粒子1） 粒子基态 s=02）氘核基态 s=13）Li核基态 s=3/2复合粒子自旋量子数有时可以发生变化 。26基矢个数确定维数，与自由度要区分开 5. 自旋空间的维数对于s=0的粒子，完全不用讨论自旋，或者 说其自旋空间是一个 1D 空间，其中只有一个 自旋态（s=0, m=0）。对非相
7、对论量子力学的主要对象电子来 说，s=1/2，m只能取 两值，自旋空间是 2D的。一般情况下自旋空间维数是2s+1维。（为什么？）27二、自旋算符的对易及反对易关系讨论s=1/2的粒子，以电子为例。其突出特点是，自旋在任意方向上的分量只 能取 ，即即角动量平方及各分量平方算符是一个数算 符，这可以导致一个特有的关系。28将此式两边左乘和右乘 ，得两式相加，得由 得29即自旋三个分量的算符彼此是反对易的。这是 自旋1/2粒子所特有的关系。一般地有或写成 由前面的讨论可知， 是带有量纲的数 ， 它与任何算符都对易，30三、自旋算符和自旋态矢量1. 表象在单电子的2D自旋空间中，通常采用 表象，即取
8、 的共同本征矢量 为基矢，将算符和态矢量分别写成 矩阵 和一列矩阵形式。此时基矢矩阵形式可以写为31任意自旋矢量 可以写为归一化要求此时左边第一项为处于 态的电子 的概率，第二项为 的概率。2. 泡利矩阵（自旋算符）在 表象中， 本身是一个对角矩阵，即32与 满足对易关系的 的最一般形式为是任意实数，习惯上取=0，称为国际通用的自旋矩阵若令 ，则33称为泡利矩阵，显然其分量算符满足关系3. 自旋态矢量单电子的态矢量 可以写成直积形式34或者写成xyzSz表象的函数形式式中 35归一化条件是 亦即 此式左方第一个积分是电子不问位置，自旋 取正的概率，第二项是自旋取负的概率。 3611 运动方程1
9、1.1 Schrdinger方程一、一般形式此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒子等所有情况。根据量子力学基本原理4，微观体系的状态 随时间的变化规律满足下列Schrdinger方程当单粒子有自旋时，波矢量和哈密顿分别是位形空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符。37系统运动方程取决于系统本身的情况和外部环境，而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场。当系统的线度不大时，外加的宏观电磁场可以看成是均匀的，但可随时间变化。哈密顿中的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化。二、具体形式1. 空间运动部分这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿H(x,p,t)得到。只要将其中的x和p换成粒子
10、的位置和动量算符，即可得到哈密顿算符。如电磁场中的带电粒子 38经典哈密顿量为V是其它因素对哈密顿的贡献。故单粒子的哈密顿算符为其中为方便起见，以后算符上不再加算符符号。39将两边同时作用到任意态矢量 上，注意到有对于均匀磁场B，矢势A可以写成此式证明如下：40利用公式当 时，而 为均匀磁场，41但而这是我们经常使用的公式。它说明了矢势同矢径 和磁场的关系。42右方第二项成为而电磁波是横波，即有 ，且式式中 为粒子的角动量算符。于是单粒子的哈密顿可以写成43由此可定义单粒子的轨道磁矩算符在L的本征态|lm中，轨道磁矩的大小及其z分量取确 定值，例如对电子有称为玻尔磁子。其中式中A2项由于数量级
11、小，往往可以略去。442. 有关自旋的项对 H中与自旋有关的项，由于没有经典类比，无法从经典分析力学中得出，应该利用电子自旋磁矩的实验值写出对能量的贡献，加在下式中通常将 用 代替，这时电子的自旋磁矩算符为在自旋 表象下，这是一个 矩阵的矢量算符。45例如，哈密顿中自旋在外磁场B中的能量附加项为另外，一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相 互作用能 (即旋轨耦合)，例如对类氢离子中电子为讨论原子问题时，常在哈密顿中加上由自旋引起的能量。这些都相当于在哈密顿中V这一项。463. 含有自旋的薛定谔方程在 表象下，含有自旋的薛定谔方程可以写为如下的泡利方程式中 都是x,y,z,t的函数。4711.2
12、 演化算符方程是时间的一阶微分方程，初态 给定，原则上可以知道任意时刻的状态 。由此可定义一个 演化算符U(t,t0)使其满足将上式代入薛定谔方程中，得显然，U(t,t0)的具体形式取决于薛定谔方程中的H。此式对同一系统的一切初态 都成立。48于是得演化算符满足的微分方程为当H中不显含时间时，此式在 的初始条件下的解为故可知态矢量的归一化性质不随时间改变，即若 是归一化的，则 对一切时间都是归一化的。这就是当H中不显含时间时演化算符的具体形式，是一个幺正算符。哈密顿显含时间的演化算符不再介绍。 4911.3 绘景变换量子力学中的各种关系式，可以直接用矢量和算符表示，也可以取不同的表象用矩阵表示
13、。不同表象中的矢量和算符，通过一个不含时的幺正矩阵联系起来。一个关系式在不同表象中的形式是完全等价的。现在取一个含时间的幺正算符 U(t)，作用在所有的矢量和算符上进行幺正变换。这样会得到与原来的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系，但其 形式会发生较大的变化。这种变换叫50改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换，使 得在新的绘景下，某一问题的解决更方便一些。我们说，幺正变换U(t)使我们得到量子力学关系式 的另一个绘景。二、薛定谔绘景(Schrdinger picture)到目前为止, 我们所用的绘景没有经过幺正变换，称之为Schrdinger绘景（SP）。为了同新绘景相区别，我们把为Schrdinger绘景中的矢量和算符写成 的形式。在这个绘 景中态矢量是含时的，服从Schrdinger方程一、绘景变换51而一般算符则不含时（一些含时微扰除外），这样在Schrdinger绘景中还可以取各种表象(represen- tation)。每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想去看Hilbert空间，则应看到，描写状态的态矢量是按照一定规律运动的，而每一组基矢是静止的。态矢量的各种表象，不论写成矩阵的形式，还是写成函数的形式，都是
