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1、 第五章 刚体的运动刚体：特殊的质点组任何两个质点之间的距离保持不变刚体的形状和大小都不变化(自由度降低)引入两套坐标系，确定刚体在空间的位置，即静止坐标系固连在刚体中的坐标系(参与刚体的全部运动)，它的原点在静止坐标系中的位矢为 。 注：下图中oxyz为从静止坐标系过渡动坐标系的坐标系刚体相对于静止坐标系的位置完全由运动坐标系的位置来确定(由于刚体中任意两点的距离保持不变，确定了动坐标系，则刚体上各点的位置就完全确定)。确定运动坐标系的原点o： R0 3个自由度(平动)确定运动坐标系的三个轴：ox1、ox2 、ox3由3个独立的角度确定3个自由度(转动)刚体有6个自由度重点：欧勒角如图2：过
2、o作oxyz和Ox0 y0 z0平行。分三步将oxyz转到ox1 x2 x3的位置。1. 将oxyz绕z轴转 角，使ox 转到垂直于zx3平面的位置oN；2. 绕oN轴转 角，使z轴转到ox3位置；3. 再绕 ox3轴转 角，使oN轴转到 ox1位置。(ox1 与 ox3 确定， 则 ox2 确定)定义 为欧勒角( ：确定自转轴位置， ：确定绕自转轴转动的角度)刚体的基本运动形式：平动、转动平动规律：质量集中在质心上的单质点运动规律重点：转动转动的特点：绕不同轴的转动之间有相互关联1.5.1 刚体的角速度、角动量与转动能量一、不同转轴转动之间的关联 角速度矢量线位移：沿不同方向彼此独立 A+B
3、=B+A平行四边形法则但：对转动，绕不同轴的转动，彼此之间互相关联。例子：书的大角度转动。显然：绕不同轴转动有限角度，与先后次序有关，并不独立。结论：两个有限转动的合成不服从平行四边形法则，不能看成矢量。注意：矢量有大小、方向，且满足平行四边形法则的量。然而可证明：无限小角位移是矢量。 设：刚体绕通过o点的轴线转动了一个微小角度 。沿轴线方向作一有向线段： ， 。这一转动引起矢径r的变化则： (转动 后)转动：空间变换转动变换的数学表示：设： 绕两个不同轴的转动1. 先转 ，后转 时，r 变为2. 先转 ，后转 ，r 变为两者之差：对于无限小转动：略去二阶小量 体现关联： 顺序不一样，结果不一
4、样)则即 两个无穷小转动与次序无关：两个无穷小角位移相加服从平行四边形法则 (r：任意)结论：无穷小角位移是矢量。二、角速度矢量定义： 瞬时角速度(矢量)现证明：角速度 与转动中心(转轴)的选择无关。指的是：转动是一样的，坐标系是任意的。设：Oxyz固定坐标系；ox1 x2 x3运动坐标系 o点对Oxyz的矢径：R0刚体上点P的矢径：R对Oxyz；rop 对ox1 x2 x3：绕o点转动的角位移。矢径 rop 在转动 后所发生的位移为 ，则 固定坐标系： P点速度 ；o点速度( 是以o点为中心的角速度)(平动+转动)对另一点o，且oo = a，同理有现设：o 为转动中心，以o 为原点的坐标系中
5、，P点的矢径为rop 则 rop= rop+ a另一方面， o 代替o时，有( 是以 点为中心的角速度)于是角速度不因转动中心(坐标系)的选择而变通常，以刚体的质心作为运动坐标系的原点，此时，V0质心的速度。三、角动量矢量与转动惯量张量1 . 刚体平动：单个质点的运动 P =M V2 . 定轴转动：L = I 3. 刚体绕o点的转动：刚体质点组，对o点的总角动量又并矢同理，有比较： 定轴转动，即 ，L和 共线 定点转动：转动惯量不再是常数，而是一个并矢转动惯量张量 同理，有上式为 的矩阵形式 并矢 有九个分量 的矩阵形式令定义： 为刚体对三个坐标轴x,y,z的转动惯量； 为惯量积。 质量连续分
6、布：四、惯量主轴定义了转动惯量、惯量积后，得到上式表明：角动量并不和角速度成正比。此时，刚体绕某一轴转动时，会在另一轴的方向上产生角动量(绕不同轴的转动相互关联)。绕任意轴转动，角动量一般不和角速度共线。但：绕某些特殊轴转动，L可能与 共线。此时， 。目的：找到这些轴。因为所以 (本征值方程)即关于 的线性齐次方程组非零解条件I 有三个正实根：Ia (a=1、2、3)由 Ia 的三组解三组解 的方向决定了角动量与角速度共线的三个方向。这三个方向称为刚体的惯量主轴。 Ia ：沿主轴方向的转动惯量。 实际上， 就是前面讲的本征值方程，即由上式可解出相互垂直的本征方向 ，即角动量与角速度共线的方向或
7、惯量主轴。在三个相互垂直的惯量主轴 上，以三个本征值 Ia为半轴作出的椭球，称为刚体的惯量椭球。它就是转动惯量矩阵的本征椭球。若选相互垂直的三个惯量主轴作坐标轴，则：所有的惯量积都为零 (为什么？)。此时，转动惯量张量具有对角形式 在这一坐标系中， 成为 对以上结论的证明：设 为 的本征矢，本征值为 ，于是有又设 为 方向上的单位矢量，即 ，则 由于 满足正交归一条件，所以也可以选其作为一个坐标系的基矢。转动惯量张量 在这一坐标系下的分量为上式的矩阵形式为上面讨论了转动惯量张量在不同坐标系下的形式，现在来讨论 在基矢 中的表示形式与在基矢 中表示形式之间的变换关系。因为转动惯量张量的对角形式其
8、中 为坐标变换矩阵， 是其逆矩阵。由于 与 均为正交归一矢量组，所以它们之间的变换矩阵A是正交矩阵，即满足条件因此，有即一般情况：求惯量主轴要求解本征值方程 。 但：对于具有对称性的刚体，容易找到惯量主轴。例：刚体是一个边长为a、b、c的质量均匀分布的长方体，则通过长方体中心的惯量主轴方向就是a、b、c的方向。例：惯量积 的计算 同理，其它的惯量积均为零转动惯量张量对角化势能：刚体质量全部集中在质心时的质点的势能。重点讨论：动能第一项：质量集中在质心上的平动动能五、刚体能量研究：刚体的自由运动和在重力场中的运动。第二项：选质心为坐标原点：rc = 0 第二项 =0第三项中的： 1.5.2 刚体
9、的运动方程刚体：6个自由度 自由度数目减少例子：绕固定点的转动3个自由度；定轴转动1个自由度。在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力但：由拉格朗日方程不容易得到约束反力 (以前仅讨论理想约束)办法：回到牛顿表述 一、动量定理 定点转动角动量定理刚体：特殊的质点组考察刚体整体运动R0：质心在静止系中的矢径。对第a个质点： 其中 ra ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。因为所以作和 其中对固定点o的总角动量对固定点o的总力矩对固定点的角动量定理以质心为坐标原点时 (仍在惯性系中) ，有对上式作和又则 令则 对质心的角动量定理描述刚体的运动方程组为二、刚体的静平衡平衡时平衡方程例题：见p88
10、 例1三、刚体的动平衡 (见p88，略) 四、刚体绕定点的自由运动刚体绕定点的自由运动：不受外力或外力通过固定点(例子：地球的公转、分子的转动) 此时有 (外力为零时。质心：匀速运动) (绕质心的转动，且角动量守恒)设 e1、 e2、 e3 为三个惯量主轴方向，I1、 I2、 I3 为沿这三个主轴的转动惯量，则 讨论：1. I1 = I2 = I3 球对称陀螺(任意选取三个相互垂直的轴作惯量主轴)此时： 2. I1 = I2 = I ，I3 = 0 转子即：L在 x1 x2 平面内，ox3 。3. I1 = I2 I3 对称陀螺 (I1 I2 I3 ：不对称陀螺)(例：扁平均匀球体的地球就是一
11、个对称陀螺)此时：平面x1 x2 内的任一轴都是主轴。选ox3 轴在屏幕所在平面(ox3垂直 x1 x2平面)，同时取L 也在屏幕平面。 将 分解到 x3和L 的方向上，分别称为 和 ，并设它们之间的夹角为 ，显然有在同一平面ox1x3另取 ox2 L L2 = 0L在 ox1 x3 平面内，L与ox3的夹角：L与ox1的夹角：L在ox1轴的投影：由图： 在ox1上的分量相等( 在ox1轴无分量)则 又 不变 (对做自由运动的对称陀螺，可由后面的欧拉动力学方程证明此结果，见PPT：p29) L与ox3 轴的夹角不变规则进动：对于对称陀螺自由转动，有绕 ox3转动 + ox3 轴绕空间固定轴(L
12、轴)进动，且ox3与L之间的夹角 保持不变(见前面图3) 。五、欧勒运动学方程对称陀螺的基本运动有(1)刚体绕对称轴的自转；(2)自转轴绕空间固定轴的进动(precession)；(3)自转轴和固定轴间夹角的章动(nutation)。用欧勒角描述这三种运动： 设：o固定点；oz：固定轴：刚体绕固定轴oz转过的角度进动角；：进动角速度沿oz方向；：刚体绕ox3 转过的角度自转角；：自转角速度沿ox3方向；：ox3和oz间的夹角章动角； ：章动角速度沿oN方向。当 时， 当 时，所以oM、oM、oz、ox3 在同一平面 ，且有oM 在水平面，oM 在 平面1 在x1 x2平面，它在 x1、x2 、
13、x3 的分量 。由图4，有 2 在 ox3 上的投影为：在 oM 上的投影为：而 ox1、ox2、oM 又在同一平面，再把沿 oM 上的在 ox1、ox2 轴上进行分解，有这样 在 ox1、ox2的分量为3 沿 ox3 方向。于是 在动坐标系 ox1、ox2、ox3 的分量为若：已知 则：可计算六、欧勒动力学方程刚体的运动方程为 而 中 不是常数，这样要得到M与 的关系很困难。办法：建立运动坐标系坐标轴沿三个惯量主轴方向此时：设：矢量A， ：相对静止坐标系的改变量若：A相对于运动坐标系不变，则 仅仅是由于运动坐标系转动而引起的，故一般情况：A 相对于运动坐标系改变，说明如下。设：K、K分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。现在 K、K系中分别求矢量 A(t) 随时间的变化率。i、j、k
