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1、第二节 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是_的不等式叫做一元二次不等式. 22.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式 =b2-4ac0=00)的图象 判别式 =b2-4ac0=00)的根有两相异实数根有两相等实 数根x1=x2=没有实数根ax2+bx+c0 (a0)的解集_ _ax2+bx+c0)的解集_x|xx2xR|xx|x10(a0)中，如果二次项系数a4的解集为( )(A)(-,-2)(3,+) (B)(-,-3)(2,+)(C)(-2,3) (D)(-3,2)(2)(2013广东东高考)不等式x2+x-20的解
2、集是 则a+b=( )(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14【解析】选D.由题意 是方程ax2+bx+2=0的两个根，所以 解得a=-12，b=-2,故a+b=-14，选D.【典例1】(1)(2013大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b)，如果不等式f(x)0的解集是(-1,3)，则不等式f(-2x)0，即(ax-1)(x+b)0，其解集是(-1，3)，所以解得于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)1.当a0时，原不等式可化为若a1或 .若a0，则上式即为()当 即a1时，原不等式的解集为()当 即a=1时，原不等式的解集为 ；()当 即01；当a
3、=0时，x|x1；当01时，【规律方法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.【变变式训练训练 】(1)(2013绍兴绍兴 模拟拟)不等式ax2+bx+c0的解集为为(-2,1),则则不等式ax2+(a+b)x+c-a0的解集为(-2,1),a0,(x+3)(x-1)0,x1.(2)
4、解关于x的不等式(1ax)21.【解析】由(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，当a0时，x ；当a0时，由ax(ax2)0，得即当a0时，综上所述：当a0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式解集为 当a0时，不等式解集为考向 2 一元二次不等式的恒成立问题(2)已知函数f(x)=x2+ax+3.当xR时时,f(x)a恒成立,求a的范围围.当x-2,2时时,f(x)a恒成立,求a的范围围.【思路点拨】(1)因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.(2)可直接利用判别式0求解.可转化为求f(x)-a在-2,2上的最小值,令其最小值大于或等于0即可.(2)f(x)
5、a即x2+ax+3-a0，要使xR时，x2+ax+3-a0恒成立，应有=a2-4(3-a)0，即a2+4a-120，解得-6a2.当x-2,2时，设g(x)=x2+ax+3-a.分以下三种情况讨论：()当 即a4时，g(x)在-2,2上单调递增，g(x)在-2,2上的最小值为g(-2)=7-3a，因此 a无解；()当 即a-4时，g(x)在-2,2上单调递减，g(x)在-2,2上的最小值为g(2)=7+a，因此 解得-7a-4；() 即-40时时,f(x)=x2-4x,则则不等式f(x)x的解集用区间间表示为为 .【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,又当x0,所以f(-
6、x)=x2+4x.又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-4x(x0时，由f(x)x，得x2-4xx，解得x5.(2)当x=0时，f(x)x无解；(3)当xx，得-x2-4xx.解得-5x的解集用区间表示为(-5,0)(5,+).答案：(-5,0)(5,+)【误区警示】1.处对于x=0时的情况漏掉分析而导致不全面.2.处利用奇函数求x0.当x0时,f(x)=x2-4x,所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+4x(x0)，故f(x)= 由f(x)=5得 得x=5或x=-5.观察图象可知由
7、f(x)5，得-5x5.所以由f(x+2)5，得-5x+25，所以-7x3.故不等式f(x+2)5的解集是x|-7x3.答案：x|-7x31.(2013宁波模拟)函数 的定义域是( )(A)0,1) (B)0,1(C)0,4) (D)(4,+)【解析】选A.依题意有 解得所以0x1，即函数定义域是0,1).2.(2013温州模拟)若函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意xR恒有f(x)0，则f(1)等于( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析】选C.依题意得a2-4(-3a-9)0,即a2+12a+360，所以(a+6)20,必有a=-6,这时f(x)=x2-6x+9,故f(1)=
8、4，故选C.3.(2013绍兴模拟)已知函数若f(x)1,则x的取值范围是( )(A)(-,-1(B)1,+)(C)(-,01,+)(D)(-,-11,+)【解析】选D.当x0时，由x21,得x-1;当x0时，由2x-11,得x1.综上可知，x(-,-11,+).4.(2013衢州模拟)已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )(A)(2，+) (B)(-2,+)(C)(-,-3) (D)(-,-3)(2,+)【解析】选A.原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，不合题意，从而有解得所以 解得a2.故a的取值范围是(2，) 6.(2013湖州模拟)已知函数 则满足不等式f(3-x2)f(2x)的x的取值范围为( )(A)-3，0) (B)(-3，0)(C)(-3，1) (D) 【解析】选B.由函数图象可知，不等式的解为或解得 或 即x(-3,0),故选B.
