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1、潘 维 加长沙理工大学电气与信息工程学院自动控制原理2.1 拉普拉斯变换 2.2 控制系统时域数学模型 2.3 控制系统复域数学模型 2.4 控制系统方框图 2.5 控制系统信号流图控制系统数学模型描述系统输入、输出以 及内部变量关系的数学表达式。主要有微分方程、传递函数、频率特性。第二章 控制系统数学模型拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749 1827)是法国天文学家、数学家和物理 学家，法国科学院院士。14岁入开恩大 学,18岁大学毕业,任巴黎陆军学校数学 教授，1816年被选为法兰西学院院士， 1817年任该院院长。拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace
2、)1812年发表了重要的概率分析理论一书，在该书 中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判 调查、气象等方面的应用，导入拉普拉斯变换等。他在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位。 拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘 。（1）拉普拉斯变换单值函数 f(t) 在(0,)区间有定义时 f(t)的拉普拉斯 积分称为f(t)的拉普拉斯变换。其中，f(t)是需要变换的函数， 称为原函数；F(s)是含复变数s的复变函数，称为象函数 ，复变数s=+j，和都是实数。式中, L表示拉氏变换。2.1.1 拉普拉斯变换定义2.1 拉普拉斯变换函数 f(t)的拉普拉斯变换记作（2）拉氏变换
3、存在条件例1 求阶跃函数的拉氏变换。解 tcc，cc是 f(t)的收敛横坐标。上述计算复变函数积分是困难的，所以求拉普拉斯反 变换时，一般是先对象函数F(s)进行部分分式分解(海维赛 德展开定理)，然后再查拉氏变换表求原函数 f(t)。式中, L-1表示拉氏反变换。2.1.4 利用部分分式分解法求拉氏反变换设象函数一般形式为求原函数 f(t)。对此，可先将其展开成部分分式，然后利 用拉氏变换表求原函数的各项，即为原函数 f(t)。 （1）F(s)只含有不相同极点因各极点不同，可展开如下部分分式式中, A1、A2 An均为待定系数，可采用求s=- pi的留数 方法计算，即依次求得所有系数后，原函
4、数 f(t)可由以下反变换求出。例1 求的原函数 f(t) 。 解 将F(s)展开部分分式式中于是原函数（2）F(s)含有共轭复极点设F(s)含有一对共轭复极点p1、p2。其余为不同单极点， 则F(s)可展开如下部分分式之和式中, 待定系数A1、A2可按下式求得上式等号两边都是复数，使两边的实部和虚部分别相 等，得两个方程，联立可求出A1、A2。其余待定系数A3 An可按单极点公式求出。例2 求的原函数f(t)。解 三个极点 p1=0，p2、3=- 0.5j0.866确定系数A1确定系数A2、A3得 A2=-1、A3=0。所以原函数将原式展开部分分式（3）F(s)含重极点设p1为F(s)的r阶
5、重极点，其余为不同单极点，则F(s)为将其展开部分分式式中，待定系数Ar+1 An的求法与单极点相同，而相应于 重极点系数A1、A2 Ar的求法如下于是原函数为例3 求的原函数 f(t)。解 将原式展开成部分分式确定待定系数A1、A2、A3于是原函数2.2 控制系统时域数学模型2.2.1 列写控制系统微分方程的方法（1）根据系统中各环节的工作原理，分别确定系统和各 环节的输入量和输出量； （2）列写系统中各环节的微分方程； （3）消去中间变量，写出描述系统输入量与输出量的微 分方程； （4）将与输入量有关的各项放在等号右侧，与输出量有 关各项放在等号左侧，并按降幂排列。 线性微分方程的一般形式
6、：（3）消去中间变量得系统微分方程（1）确定输入量和输出量 例1 RLC串联无源网络系统， 试列写以ur(t)为输入量，以 u0(t)为输出量的微分方程。（2）列写各环节微分方程输入量：ur(t)；输出量：uc(t)ur(t)uc(t)i(t)RLC解注意：系统中蓄能环节个数与微分方程阶数的关系。（2）列写各环节微分方程（3）消去中间变量得系统微分方程输入量：外力F(t)；输出量：质量块位移 y(t)例2 弹簧-质量-阻尼器机械位移系统,试列写质量m 在外力 作用下位移y(t)的微分方程。y(t)F(t)kfm（1）确定输入量和输出量解（2）列写各环节微分方程（3）消去中间变量得系统微分方程
7、角位移方程角速度方程例3 机械旋转系统,试列写动力矩Mf(t)为输入量，物体旋 转角度 (t)或角速度(t)为输出量的微分方程。fMf(t )(t)J（1）确定输入量和输出量 输入量：动力矩Mf(t)； 输出量：物体旋转角度 (t) 或角速度(t)注意：同一个系统，选择的输入输出变量不同，则数学模 型也不同。解输入量：电枢电压ua(t) 输出量：电动机转速 (t) （2）列写各环节微分方程（3）消去中间变量得系统微分方程电网络平衡方程机械平衡方程电磁转矩方程电动势平衡方程(空载ML(t)=0)例4 试列写输入量为电枢电压，输出量为电动机转速的他励 直流电动机系统的微分方程。(t)Rai a(t
8、)J au a(t)fMa(t)L ae b(t)ML(t )i f解（1）确定输入量和输出量设非线性函数 y = f(x)如图所示，其中： y 0= f(x0)，在工作 A(x0,y0)处展开成泰勒级数令 y = y - y0 = y - f(x0 )，x = x - x0 当x很小时可以忽略x的高次幂项，则线性化后方程2.2.2 非线性微分方程的线性化xyAx0y0y = f (x)y=kx略去增量符号有y = kx单变量非线性函数的线性化例5 设铁心线圈电路如图(a)所示，其磁通(i)与线圈电流 i(t)之间关系如图(b)所示，试列写以ur(t)为输入量，i(t)为输 出量的微分方程。u
9、r(t)Ri(t)(i)(a)ii000Ki(b) 解 设铁心线圈磁通变化时产生的感应电势为电路微分方程非线性函数(i)线性化所以输入量：流入量q1(t) 输出量：液位h(t)或流出量q2(t)（2）列写各环节微分方程（3）非线性环节线性化（4）消去中间变量得系统微分方程水箱出口侧阀门例6 试列写输入量为流入量q1(t) ，输出量为液位h(t)或流出量 q2(t)的液位系统微分方程。 q1(t)q2(t)h(t)CR解（1）确定输入量和输出量定义：传递函数是线性连续定常系统，在零初始条件下， 输出象函数与输入象函数的比值，即式中, C(s)为输出量的象函数，R(s)为输入量的象函数， G(s)
10、称为系统传递函数。传递函数的方框图表示如图所示 。 R (s)C (s)G (s)2.3 控制系统复域数学模型2.3.1 传递函数的概念这里，零初始条件有两个含义：一是指输入量是在 t0时才作用于系统，因此在t=0-时输入量及各阶导数均为 零；二是指输入量加入系统之前系统处于稳定的工作状态 ，即输出量及各阶导数在t=0-时的值也为零。2.3.2 传递函数性质(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质； (2)传递函数表征系统对输入信号的传递能力，是系统固 有特性，与输入信号类型及大小无关； (3)传递函数只适用于线性连续定常系统。 (4)传递函数仅描述系统的输入输出特性。
11、不同的物理系 统可以有相同的传递函数。同一系统中不同物理量之间对 应的传递函数也不相同； (5)实际系统中有nm，n 为传递函数分母的阶数，称为 系统阶次； m 为传递函数分子的阶数；(6)传递函数是系统性能分析的最简形式之一。2.3.3 传递函数表达形式（1）真有理分式形式(n m)式中 ai、bj 均为常数，i=0,1,2,n，j=0,1,2,m。（2）零、极点形式(n m)式中 pj为极点，zi 为零点，Kg为根轨迹增益，Kg=b0/a0注意：由于传递函数拉氏反变换是单位脉冲响应函数，所以 初始条件为零时系统单位脉冲响应拉氏变换为系统传递函数 。（3）时间常数形式式中 Ti、j 均为时间
12、常数，i=1,2,n，j=1,2,m。K为放 大系数。(n m)2.3.4 响应函数当输入为单位脉冲函数时 ，因为C(s) =G(s)R(s)，所以C(t)称为响应函数。当输入为单位阶跃函数时 ，称为单位阶跃响应函数；称为单位脉冲响应函数 。2.3.5 传递函数求法在零初始条件下将系统微分方程两端进行拉氏变换， 化简整理，求输出量象函数与输入量象函数的比，即为系 统传递函数。 例1 已知系统微分方程其中，u(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，求传递函数 。解 将微分方程两端进行拉氏变换，并求输出量象函数与 输入量象函数的比。即（1）根据系统微分方程求传递函数（2）依据原始微分方程组化简消
13、元求传递函数例2 双容水箱，输入量为qr(t)，输出量为h2(t)或qc(t)，求传递 函数。（1）建立原始微分方程组（3）化简消元得系统传递函数qc(t )Qr(t)q0(t )R2R1h1(t)h2(t) C1C2解（2）对原始微分方程组进行拉 氏变换 （3）利用复阻抗求传递函数R2R11/Csu2(s)u1(s)- +注意：对于无源或有源点电网络，应用复阻抗概念和分压 定理，会使电网络传递函数求取过程大大简化！Ur(s)Uc(s)U1(s)LsI(s)R1R2I2(s)I1(s )1/Cs解解例3 无源网络，输入为Ur(s), 输出为Uc(s)。例4 有源网络，输入为U1(s), 输出为
14、U2(s)。（4）依据输入输出信号求传递函数例5 零初始条件下,系统单位阶跃输入时的输出响应为求传递函数。解输出量的象函数输入量的象函数传递函数2.3.6 典型环节传递函数式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为比例增益。 阶跃响应曲线ttrc00举例：直流测速发电机，输入量为转子 转速(t)，输出量为发电机输出电压u(t) 。方框图KR(s)C(s)(t )u(t )式中 Kt为测速发电机比例系数 。传递函数（1）比例环节微分方程式中 c(t)为输出量，r (t)为输入量， Ki为积分增益。 阶跃响应曲线ttrc00举例：单容水箱，输入量为净流入量 qr(t)=qi(t)- qo(t)
15、，输出量为水位h(t)。方框图qi(t)qo(t)FR(s)C(s)传递函数（2）积分环节微分方程式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量， Kd为微分增益。（3）理想微分环节微分方程方框图R(s)C(s)传递函数阶跃响应曲线ttrc00举例：直流测速发电机，输入量为转子 转角(t)，输出量为发电机输出电压u(t) 。 (t) u(t )式中 Kt为测速发电机比例系数 。式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量， T为时间常数 。 （4）惯性环节微分方程方框图 R(s)C(s)传递函数阶跃响应曲线ttrc00举例：单容水箱，输入量为流入量qi(t)， 输出量为水位h(t)。式中 R为流出侧管道
16、等效阻力 。qi(t)qo(t) Fh(t)式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量，TD为微分时间，KD为微 分增益。 （5）实际微分环节微分方程方框图R(s)C(s)传递函数阶跃响应曲线举例：RC微分电路，输入量为ui(t)， 输出量为uo(t)。ui(t)uo(t)CRttrc00式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量，为阻尼系数(01) ，n为无阻尼自然振荡频率。（6）振荡环节微分方程方框图R(s)C(s)传递函数阶跃响应曲线ttrc00举例：RLC振荡电路，输入量为ur(t)， 输出量为uc(t)。ur(t )uc(t )i(t )RLC式中 c(t)为输出量，r(t)为输入量， 为迟延时间。（7）迟延环节微分方程方框图R(s)C(s )传递函数阶跃响应曲线ttrc00举例：物料
