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1、第十二章第十二章 格林函数格林函数 解的积分解的积分 公式公式 这一章讲解三类定解问题的另一种求解法方法格 林函数法 格林函数，又称点源影响函数。格林函数代表一 个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 场。 本章中的点电荷电量是-本章总共五小节内容，可分为三部分。前两节是一部分， 讲解泊松方程解其解的问题，三四节讲解波动和输运方 程及其解的问题。第五小节是对前面的推广。在第一节里，写出泊松方程的格林函数积分公式，没有说 出格林函数的形式，接下来在第二节就具体求格林函数 的形式，然后代入第一节的积分公式中，就把定解问题 全部求完了。第三节讲的是波动和输运问题（即含时间t）写出积分公 式，第四
2、节具体求格林函数，然后代回。这样就求出了 波动和输运问题了。12.1泊松方程的格林函数法有源问题定解通解边界条件求通解积分定解积分边界条件（格林函数法）1. 源问题例 静电场处静电场a.无界空间b.有界空间边界上可能出现感应电荷处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。感应电荷是源电荷的结果。计算变成由计算感应电荷，然后是否能一次解决定解通解边界条件求通解积分定解积分边界条件（格林函数法）2. 格林公式第一格林公式：区域 T，边界T设 和 在 T 中具有连续二阶导数， 在 上有连续一阶导数。由高斯定理感应电荷是边界问题第二格林公式：交换 和 ：与上式相减即法向导数3. 边值问题泊松方程边界条件定
3、义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题4. 泊松方程的基本积分公式点源泊松方程单位负电荷在奇异，不能化为面积分。在 T 中挖掉半 径 ，在 的小球 。 小球边界 。边界条件无法带入积分之中！在 ， 。和连续。这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。格林函数：将冲量定理法扩展到空间坐标对两端固定的弦问题变成5. 边值问
4、题的格林函数还需知道点源泊松方程度解的边界条件。第一边值问题(狄里希利问题)第三边值问题第一边值问 题格林函数第三边值问 题格林函数在，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，具有同一个解，可作变换：12.2电像法求格林函数第一边值问 题格林函数导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。将感应电荷的电势由一“电像电荷”的电势表示如右图，当导体外 M1 处有电荷时，镜像电荷将在球内M0 处。现在，问题反过来，在 r0 处有电荷 -0 ，求r1，和镜像电荷。 例1球内第一边值问题在球面上例2半空间第一边值问题解按电磁学思
5、维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。计算格林函数：镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。法线方向与z轴方向相反 12.3 12.3 含时间的格林函数含时间的格林函数12.112.2讨论的是稳定场问题的格林 函数方法.至于波动与输运这类含时间的问 题,同样可以运用格林函数方法求解.本节以波动问题为例介绍含时间的格林函 数,并导出波动方程定解问题解的积分形式; 对于输运问题,亦给出相应的结果.一般强迫振动的定解问题是 (12.3.1) (12.3.2) (12.3.3) 持续作用的力 可
6、看作是前后相继的脉冲力 的叠加.现在我们再进一步将一个 个连续分布于空间的脉冲力看作是鳞次栉比排列 在许许多多点上的力的叠加.把持续作用的连续分布力把持续作用的连续分布力 看作是许许多多脉冲力的叠加看作是许许多多脉冲力的叠加(12.3.4)把单位脉冲力所引起的振动记作 ,称之为波动问题 的格林函数.求得了G,就可用叠加的方法求出任意力f(r , t)所引 起的振动.G所满足的定解问题是(12.3.5)(12.3.6)(12.3.7)我们可以用类似于求解泊松方程的方法求得定解问题 (12.3.1)(12.3.3)的解的积分表式.需注意的是含时间的 格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性,
7、(12.3.8)现在推导定解问题(12.3.1)(12.3.3)解的积分表式.考虑到关系式(12.3.8)中时间 变数t与 不能像空间变数那样简单地对调,我们先将定解问题(12.3.1)(12.3.3) 中的r,t换为 ,(12.3.13)(12.3.14)(12.3.15)将G的定解问题中的r与 互换,同时将t和 分别换 为 和-t,并利用对称关系(12.3.8),得(12.3.16)(12.3.17 )(12.3.18)以 乘方程 (12.3.13),以 乘方程 (12.3.16),相减,再对 在区域T上积分,同时对 在0,t+ 上积分,并利用第二格林公式及初始条件 (12.3.15)及(
8、12.3.18),可得(12.3.19)其中 ,积分后取 ,引入是为了使含 的积分值确定(积分区间包含 在内),于是可得(12.3.20)右边第二个积分中 因此,可完 成对 的积分,计及 时G=0, ,这样得到(12.3.21)对于不同类型的边界条件,可令G满足相应的齐次边界 条件,从而得到适用于不同边界条件的以G表示的解的 积分表式.对于输运问题,(12.3.22)(12.3.23)(12.3.24)类似上面的讨论,同样可得到其解的积分表式(12.3.25) 12.4 12.4 用冲量定理法求格林函数用冲量定理法求格林函数12.3给出了以格林函数表示的波动方程与输运方程解的积分表式,然而,
9、只有找到格林函数,才能利用积分表式最终确定问题的解,本节将通过几个例 子介绍怎样用冲量定理求格林函数,以及格林函数在求解波动问题或输运问 题中的应用.例1 求解一维无界空间中的受迫振动解 这个问题的格林函数G满足定解问题按照冲量定理方法,G的定解问题可以转化为这个定解问题的解由达郎贝尔公式(7.4.7)给出,只是其中的t在这里应换为,或按(12.3.21),u的解是例 2 求解定解问题解 格林函数G满足按冲量定理,这个问题可转化为利用分离变数法,可求得以此代入(12.3.21).得对 的积分等于零,除非n=1.对于n=1,这个积分等于 .于是,例 3 求解一维无界空间的有源输运问题解 格林函数G满足定解问题这个问题可以转化为这个定解问题的解可引用13.1例2的结果,只是那里的t在这里应换为 . 于是,得到无界空间输运问题的格林函数(12.4.1)从而所求的解例4 求解一维半无界空间x0的有源输运问题,第一类齐次边界条件,解 因为是第一类齐次边界条件,应该奇延拓到x0中 的输运问题的格林函数(12.4.3)例5 求解一维半无界空间x0的有源输运问题,第二类齐次边界条件,解 因为是第二类齐次边界条件,应该偶延拓到x0中 的输运问题的格林函数(12.4.5)典型例题
