园轴扭转横截面上剪应力计算

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1、本章要点（1）园轴扭转横截面上剪应力计算公式推导与应用 （2）园轴扭转变形的计算 （3）扭转变形构件的强度与刚度条件重要概念外力偶矩、扭矩、扭矩图、圆柱形密圈螺旋弹簧、非圆截 面杆扭转、自由扭转、约束扭转4-1 扭转的概念作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会 发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。 FFM一、引例二、概念目录 受扭转构件的受力特点 在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个 等值，反向的力偶。mm变形特征：横截面绕轴线转动。轴 以扭转变形为主的杆件 -称为轴 本章主要讨论等直圆轴的强度刚度计算4-2 外

2、力偶矩的计算 扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的 往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没 有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分 析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力 偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外 力偶矩 M的大小。 A B已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为N千瓦。AB轴的转速n转/分。则： 电动机每秒钟所作的功为：（a）设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为M则：M在每秒内完成的功为：(b)由于M所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入

3、的功故：如果功率N以马力为单位，代入c式则可得：将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：（Nm） (c)（Nm） nn例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。 解：计算外力偶矩BCADMAMBMCMD三、扭矩的计算和扭矩图：1、扭矩：横截面上的内力： (T /Mn)TTT=T2、扭矩的计算 例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各

4、段轴上所受的扭矩。 解：根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：BCADMAMBMCMD112233应用截面法将横截面1-1处假想的截开为二，如图，并保留 左半部分为研究对象MB11xT1xBCMBMC1122 T2DMD33T3xBCA横截面3-3处的扭矩T3也可以利用33截面左边的受力平 衡来解决。MAMBMC112233从上述33截面上扭矩的两种计算方法所获得的计算结果可以看到，两个结果虽在数值上相等，但是在转向上却相反，由于二者均为同一截面处的内力，故其在正负号上应该一致，为了使二者的正负号一致。因此我们有必要进行正负号的规定。3、扭转正、负号的规定：右手定则：右手四指内屈，与扭

5、矩转向相 同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩 为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化的坐标图（与轴力图作法完全相同）。扭矩图的作法同轴力图的作法完全一样。如图所示：以x 轴表示杆件各横截面的位置，以垂直向上的纵轴表示Mn的大 小。例3、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，试绘出各段轴的扭矩图。 解：从例2中可知，BC、CA、AD各段横截面上的扭矩分别为：如果不画坐

6、标轴，那么一定要标明正、负号。在水平 线之上为正，在水平线之下为负。目录图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA 4kNm， mB10kNm, mC6kN m， 试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩 图。练习练习1 11122轮轴轴承6KNm4KNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输 入的功率为NA400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率 分别为NBNC120KW，ND160KW。试画出此圆轴的扭 距图。练习练习2 21122333.82kNm7.64kNm5.10kNmv 1、各圆周线绕轴有相对 转动，但形状、大小及两 圆周线间的距离不变。v 2、各纵向线仍为直线，但 都倾

7、斜了同一角度，原来 的小矩形变成平行四边形。横截面上必有存在，其方 向垂直于圆筒半径。每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒 表面上每个小矩形侧面上的均相等。4-3 薄壁圆筒扭转时的应力 剪切虎克定律一、纯剪切1、扭转实验圆周切线方向有剪应力在包含半径的纵面截面上无正应力横截面上没有正应力纯剪切 圆筒横截面上只有剪应力而无正应力， 在包含半径的纵面截面上也无正应力对这种只有剪切应力而无正应力的情况，称为纯剪切。:剪应变直角的改变量例：三个正方形微元体受力后变形如图，例：三个正方形微元体受力后变形如图， 求：三者剪应变求：三者剪应变2、横截面上剪应力的计算用一平面从mm截面处假想的把杆

8、件分成两部分，留左 边部分为研究对象，由于筒壁的厚度很小可认为沿壁厚 剪应力不变 。由于圆周方向各点情况相同圆周各点的应力相等。 由 二、剪应力互等定理用两组互相垂直的平面从薄壁筒中取出一个单元体，如 图所示。 由上面的分析可知：在 单元体的两侧面上分别受有 一对大小相等，方向相反的 剪应力。两面上的剪应力之 合力组成了一个力偶： 推测：为了维持单元体的平衡，在上、下两个面上一定有剪应 力的作用，分别记为 、 ，二者组成的力偶正好与 大小相等，方向相反，从而保持单元体处于平衡状态。由 由 剪应力互等定理 物理意义：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对存在，且数值 相等，两者都垂直于两个平面的交

9、线，方向则共同指向或背离这一交线，这就是剪应力互等定理。试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。30kN例题例题三、剪切虎克定律：扭转前，我们在薄壁筒的表面上画两对互相平行的直线如图 所示，在右端面上再做出一条相应的半径“oe”。扭后我们发现，原先所画的水平直线和半径 “oe”都移动到了 图中斜线所示的位置，其中：水平线移动了一个角度，而右端 面相对左端面则转动了一个角度 ，由图看中可看出： 分析：薄壁圆筒扭转变形的情况 1、公式推导 （c）（c）然后，从薄壁圆筒中取出单元体abcd，发现单元体abcd受 扭后，原先的直角也发生了改变，从图中可看出：这个直角的 改变量

10、正好等于，这个 也就是我们在绪论中提到的剪应变。 由式（c）可见：剪应变与扭转角成正比在做上述的薄壁圆筒实验是，我们发现：当 时： 剪切虎克定律 G剪切弹性模量，单位同 常用GN/m22、E、G、u三者关系对各向同性材料： （37） 从上式中可看出：我们只要知道其中的两个，就可求出第 三个。因此，三个弹性常数中只有两个是独立的。目录例题：挂架由AC及BC杆组成，二杆的EA相同，C处 作用有载荷P。求：C点水平及铅垂位移 解：C C/ /A AC CB BP Pa aa aa a复 习4-1 扭转的概念 1 扭转 2 轴4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图1 两个公式 2 扭矩的正负规定4-3

11、薄壁圆筒扭转时的应力 剪切虎克定律1 应力计算方法和公式 2 剪切虎克定律公式3 E G 之间的关系4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件 一、圆轴扭转时的应力 受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？几何关系应变分布物理关系应力分布平衡 方 程应力表达式应力分析方法应力分析方法试验观察1、变形几何关系：（1）圆轴扭转的平面假设： 圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表 面上作纵向线和圆周线，如图所示：TT1、各纵向线倾斜同角度2、各圆周线大小形状间距不变圆轴扭转时的应力变形特征圆轴扭转时的应力变形特征实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但大小，形状和相邻两圆周

12、线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。 结论：圆轴变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。 圆轴扭转的基本假设：平面假设（2）剪应变的变化规律： 于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错 动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： 现从圆轴中取出长为dx的微段，即上图中的mm-nn之间微段， 再于上述微段中取单元体abcd。若截面nn对mm的相对转角为 .根据平面假设，可知：横截面 nn相对于

13、mm象刚性平面一样，绕 角，半径oa也转过了一个 角到达oa。 轴线转了一个直角abc的角度改变量： （a） 圆截面a点处的剪应变，在垂直于半径oa的平面内。 同样道理：在距离圆心为处的剪应变为： （b） 讨论：由图中可看出：（a）(b)两式中的 为扭转角 沿轴线x的变化率。对某一给定的截面来说，=常量。 2、物理关系：将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式（b）中。 （c） 讨论：由于对于某一特定的横截面 =常数。 故由（c）式可看出：再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径 剪应力的分布规律如图所示： 对于某一特定的横截面来说 与 成正比。又因为 发生在垂直于半径的平面 内，所以

14、也与半径垂直。3、静力关系：虽然前面已经求出了剪应力表达式，但由于该式中的 尚未求出，所以仍然无法用它计算剪应力，为此，我们还必须来研究静力平衡关系。 （1）公式推导： 如图所示在横截面内取微分面积dA 则：整个横截面上的扭矩， A dA=T 故：Ip截面的极惯性矩截面的极惯性矩（2） 讨论：公式4-6，4-7的适用范围：（4-7）（4-6）则：p 由公式可见，当时。代入，得：用p时的情况。b. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时，例如小锥度的圆锥形杆， 也可近似的应用以上公式。c. 由于在推导上述公式时运用了虎克定律，因此只适用于a. 由于上述公式是在平面假设的基础上导出的。试验结果表明，只有对横

15、截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此上述公式只适用于等直圆杆。dxTTdxIp截面的极惯性矩截面的极惯性矩yxrdrRIp=A 2 dA横截面的极惯性矩对于实心圆截面对于圆环截面Wp=D 316Wp=D 3 16( 1- 4 )圆轴扭转时横截面上的切应力分布：T实心圆轴：T空心圆轴：二、强度条件不超过材料的许用剪切应力 。故强度条件为：同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍 然是：讨论：的确定处），即：发生在Tnmax 处（扭转最大的截面 对于等截面直杆，不一定发生在Tnmax 对于阶梯形轴，因为Wp不是常量， 所在的截面。这就要求综合考虑扭矩Tp和抗扭截面模量Wp两 者的变化情况来确定。的值，从而可减小在作截面设计时，可以把杆件设计成空心杆件，以增大 Wp和的数值。强度条件可进行：强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力与许用正应力之间存在下述关系：对于塑性材料 (0.5一0.577) 对于脆性材料， (0.81.0) l式中， l 代表许用拉应力。目录T T T TT TT TT T例例1 1例4.2 汽车传动轴为无缝钢管， D 90mm，t=2.5mm，材料为45钢 。TMAX1.5kNm。=60MPa