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1、第6章 图形变换一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换 。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很 不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很 不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的 图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影 变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对 象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用 的。本章学习实现上述功能的算法。1计算机产生图形的过程大致可分为三步：图形输入图形处理图形输出计算机对图形数据进行处理，就是图形变换。2图形变换 - 就是要变换图形的几何关系(即改变顶 点坐标),同时保持图形的原拓扑关系不变.构成图形的基本要素是点X1 y1 X2
2、y2 Xn yn 点的变换：旧点（集） 变换矩阵新点（集）X1 y1 z1 X2 y2 z2 Xn yn zn3图形变换几何变换 投影变换(又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达 到改变位置、形状)线框图的变换通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。用参数方程描述的图形的变换通过参数方程作几 何变换实现。我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。4几何变换基本变换组合变换：上述变换的连续实施投影变换正投影变换斜投影变换中心变换：三面正投影图、轴测图：斜轴测图变位变换 变形变换：旋转、 镜像、：比例、 错切周分布、 阵列、：透视
3、图由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形， 要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数。51.二维平面上点的表示法 改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现 。2. 图形变换的矩阵表示 一对坐标(x,y)一个向量x y设: 点P(x,y)点P (x, y)其数学表达方法矩阵表达方法变换后的位置矢量矩阵变换矩阵位置矢量矩阵4.1 二维图形变换6就是将图形放大或缩小的变换方法。变换式为：x=Sx* xy=Sy* y 讨论： Sx ,Sy0 1. Sx Sy1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换2. Sx Sy1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。3. Sx Sy14. S
4、x Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀 比例变换。4.1.1 比例变换7xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOy y=x(x,y)(x,y)xOy=-x(x,y)(x,y)y4.1.2 对称变换82.关于y轴的对称变换3.关于45度平分线的对称变换4.关于-45度平分线的对称变换5.关于坐标原点的对称变换1.关于x轴的对称变换9沿x轴方向的错切变换沿y轴方向的错切变换 1.沿X轴方向的错切变换4.1.3 错切变换(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化; (2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角
5、的直线段(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。（2）沿Y轴方向错切（1）沿X轴方向错切(x,y) (x,y)(x,y)(x,y)10(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平 移了一段距离。2. 沿Y轴方向的错切变换11其矩阵表示法 ：4.1.4 绕坐标原点的旋转变换12变换过程为：x=xl y=y+m变换矩阵为如变换矩阵改为 ：则点的坐标（x,y)（x,y,1)P=P*T=xO(x,y)(x,
6、y)y4.1.5 平移变换13它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法如：二维点x y 用 X Y H表示如：空间点x y z 用 X Y Z H表示正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。如二维平面上的一点3,4,用齐次坐标表示为3,4,16,8,2 1.5,2,0.5通常将H=1的齐次坐标称为x=X/H y=Y/H z=Z/H能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述4.1.6 齐次坐标与变换通式14比例、反射、旋转、错切投影变换平移总体比例变换4.1.7 二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式T:15(1)复合平移(2
7、)复合比例组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.4.1.8 二维组合变换16(3)复合旋转17* 先平移,再旋转* 先旋转,再平移级联的顺序不同,最终的图形不同由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响183. 将图形从原点平移到p(m,n)1.将图形从点p(m,n)平移到原点O2.绕原点旋转P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换19T1*T2*T3T=绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵20设直线方程 Ax+By+C =0Ax+By+C =0-C/B
8、- C/AEFFEG G则：x轴上的截距为 -C/Ay轴上的截距为 -C/B斜率为 -A/B2.让直线绕原点顺时针旋转角，使之与X 轴重合1.将直线沿X轴平移C/A，使之过原点对任意直线的对称变换可分解为以下五步:(6)对任意直线的对称变换213.图形对直线的对称变换 变成对x轴的对称变换4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置5.将直线平移回原来的位置组合变换矩阵22三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵比例、反射、旋转、错切平移投影变换总体比例变换空间点x y z 的四维齐次坐标 X Y Z H表示三维空间点的变换为x y z 1 T = x y z 1变换前点的坐标变换后点的坐
9、标三维图形的变换矩阵l m n 1 x 3 p q rTs1x14.2 三维图形变换23三维图的基本变换4.2.2 轴向比例变换变换矩阵主对角线上 的元素a、e、j、s的作用是 是图形产生比例变换。01，为图形整体缩小 S0);3)最后向V面作正投影.XYZOPXZYOS4.2.8 轴测投影变换41这种轴测图的特点是：三个轴向变形系数是相等的 =45， =3516轴向变形系数为cos3516=0.8165在轴测投影变换中，最常用的是正轴测投影42透视的基本知识 透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观 察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。 产生透视的原因，可用下图来说明：43透视的基本知识 图中，AA,BB,CC为一组高度和间隔都相等，排成一 条直线的电线杆，从视点E去看，发现 AEABEBCEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P, 则在画面 上看到的各电线杆的投影aabbcc aa即EA,EA与画面P的交点的连线; bb即为EB，EB与画面P的交点的连线。 cc 即为EC，EC与画面P的交点的连线。 近大远小44透视举例45
