《复变函数与积分变换PPT》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换PPT（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换 Complex Functions and Integral Transformation云南师范大学物理与电子信息学院 和伟引 言在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。
2、例如大家所熟知的 Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805- 1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和 发展。复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中 有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理 论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是
3、实变函数在复数领 域的推广和发展 。复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。复变函数与积分变换 Complex Functions and Integral Transformation课程性质： 必修选课对象： 电子类各专业。内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方法。为学生学习有关专业课和扩大数学知识面提供必要的数学基础。选用教材： 复变函数与积分变换 高等教育出版社.课程的基本要求在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中 的数学
4、概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法 解决实际问题的能力. 与其它课程的联系和分工复变函数中的许多概念和方法是高等数学中的实变量函数在 复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习高等数 学课程。本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的 其它分支如微分方程、积分变换等的基础理论课。积分 变换与复变函数有着密切的联系,积分变换也是复变函 数的后继课程之一 。 对于理工科类专业的学生来说它们是信号 与系统、通信原理、数字信号处理、小波变换等相 关课程的基础理论课。 第一章复数和复变函数基本要求1.熟练掌握复数的各种表示方法及其运 算。2.了解区域的概念。3.理解复变函数的概念及其几
5、何意义 映射。4.知道复变函数的极限和连续的概念。 第一章 复数与复变函数1.1复数及其表示法一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), . 称为 Z 的共轭复数。与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数
6、形式 :复数的表示法1)点表示 yz(x,y )xx0yr复平面实轴虚轴2) 向量表示-复数z的辐角(argument) 记作Arg z=q .任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足 -p M 的所有点的集合, 其中实 数 M0 , 称为无穷远点的邻域.即它是圆 |z|=M 的外部且包 含无穷远点本身. 不包括无穷 远点本身的仅满足 |z|M 的所 有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作 MM设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一 个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个
7、条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在 P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D 的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可 能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|0, 相应地必有一正数d (e) (0 d ), 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e ,则称A为f (z)当 z
8、趋向于z0时的极限, 记作或记作当 zz0 时 , f (z)A.几何意义: xyOz0dzOuvAef(z)等价定义： 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则运算性质： 当 z0 时的极限不存在例1 证明函数证 令 z = x + i y, 则由此得让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有故极限不存在. 2. 函数的连续性 定义则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续.函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续. 性质 ： (1)连续函数的四则运算仍然连续； (2)连续函数的复合函数仍然连续； (3)连续函数的模也连续； (4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续. 例题1 讨论的连续性 。x0 0例2 讨论 解 ：的连续性。
