o ．． 1_ 一一 重庆师范大学数学与计算机科学学院 吴晓红 广 东省 封开 县江口 中 学 卢敬棣 本文将针对人教 A版教材《 数学 5 》 第二章“ 数 列” 的习题作一分析 ， 然后提出一点教学建议． 1 教材习题分析 1 ． 1 习题数量相对较大 ， 体现我国传统 数学教学方 法特 征 教材习题遍布在例题 、 探究 、 练习、 习题及复习参 考题 中， 其 中习题 与复习参考题按难 易分 A组 与 B 组， 其题量统计如下表 ： 习题 章节 例题 探究 练习—— A组 B组 从表可知， 不计例题与探究题 ， 需要学生 在课 堂 内外独立完成的练习与习题多达 9 O道题 ， 而“ 数列” 内容基本公式不多 ， 变形计算能力要求 又不高 ， 表明 了本章教材编写依然重视传 统 的“ 双基” 教学 ， 我 们 数学学习依然坚守“ 熟能生巧” 的学 习传统 ， 即利 用 大量的习题对 学生所学知识 进行强 化训练 ， 以获得 新 知． 1 ． 2 探究题与应用题 比重大 体现新课标改革特征 为了适 应新 课标 的发展 ， 与时俱 进 地 发展 “ 双 基” ， “ 数列” 章节中的习题除了传 统数量形式化 习题 外 ， 还有以实际问题为背景的应用题， 以推理 、 图表等 形式出现的探究题 ， 在习题 、 阅读 与思考 中出现的研 究性开放题． 我们对 教材后 的 9 0道练习与习题进行 了分类 统计如下： ． H ． 数量形式 以实际问题为 探 究研究性 。
化 习题 背景的应用题 题 开放题 2． 1 2 ．2 2 ．3 2 ．4 2 ．5 复习参考题 数量形式化习题通 常更容易巩 固知识和熟练使 用公式． 例如学 了 2 ． 1数列及其相关 概念后， 课后设 计了很多与通项公式及递推关系有关 的习题． 等差数 列、 等 比数列章节中首先出现 的是与通项公式求和公 式有关的数量形式化题 目． 从上表可以看出， 每一章节都设计 了一定量的应 用题 ， 返璞归真． 以实际问题 为背景的应用题 ， 将数学 与现实生活联系在一起 ， 培养数学应用意识 ， 同时要 求我们在教学 中要培养学生化归与转化思想 和数学 建模 能力 数列 中有很多性质与方法 ， 在教材的部分练习与 习题中以推理探究题形式 出现 ， 激发了学生学习的兴 趣， 如 P ． 3 9练习第 4题 、 第 5题 ， 可探究得 到数列的 两个性质 ； P ． 4 7 第 4 题 ， 可通过探究小结得到数列求 和的拆项求和法 ； P ． 5 3第 3题 、 第 4题 ， P ． 5 4的 B组 第 3题 ， 都是 以探究题形式 出现 ， 从 中可以小结得到 等 比数列的性质． 教材 P ． 3 2的斐波那契数列， P ． 3 5 估计√ 2 的值 ， P ． 4 0 的A组第 2 题哈雷慧星时间表的查找， P ． 5 9的九连环， P ． 6 2的 B组第 4 题的教育储蓄问题， P ． 6 3 购房中的数学 等问题 ， 有些问题还要通过资料查找搜集、 对 比分析、 合 作交流等过程， 这体现了数学教育的文化价值． 1 ． 3 蕴 涵 丰 富 的数 列 知 识 的题 型 与方 法 。
体 现 教 材 的灵活 性 与教 学的选 择性 课本习题一般是对所学知识进行的巩固与提高， 2 1 O O 3 O 4 3 l 7 O 3 1 5 4 5 6 K 6 5 6 8 6 4 5 3 5 3 O 1 2 3 4 5 ． 棚 但 由于篇幅有限， 数列很多知识点以练习或习题 的形 式展现 ， 如等差数列 的性质在课本 P ． 3 9第 4题、 第 5 题 ， P ． 4 6的 B组第 2题 ； 数列 求和 的其他类 型与方 法 ， 在 P ． 4 7第 4题、 P ． 6 1的 A组第 4题中体现 ， 这就 要求我们要灵活处理教材 ， 合理使用课本习题． 1 ． 4 蕴 涵 丰 富 的 数 学 思 想 方 法 ， 关 注 思 维 能 力 的 提 升 函数思想是解决数学 问题的重要数学思想 ， 数列 的项可以看作定义在 自然数集( 或它 的有限子集 ) 上 的函数． 如等差数列的通项公式 a 一a +( ， z 一1 ) d可 以看作项数为 的一次函数 ， 等差数列的求和公式 S 一 -4 一 坠 ’ 一百 d 。
+ ( 一 ) ，当公差 dh a l d a l - 6 -d不 为 一一 —— 一百 十L — ， 当公左／ t 、 刀 厶 厶 厶 0时 ， 可看作关于 的二次函数( 且 常数项为 O ) ． 如教 材 P ． 3 9是等差数列通项公式与一次 函数 的图象关 系 的探究 ， P ． 4 5 例 4利用二次 函数性质解决数列 问题 ， P ． 5 0是等比数列通项公式与指数 函数 的图象关 系的 探究 ， 无不体现了用 函数的观点解决数列问题． 等差( 等比) 数列的通项公式、 前 ， z 项和公式的练 习与 习题 以及关 于五 个 基 本 量 a 、 d( 或 q ) 、 、 口 、 S 的练习或习题 ， 蕴涵 了方程思想与方程组的思想． 在等比数列前 项和公式 的使 用中又经 常涉及 分类讨论思想． 在解决以实际问题为背景的应用题中， 要进行数 列知识( 数学) 建模 ， 把实 际问题转化为数列 问题 ， 再 用数列知识解决问题 ， 即化归与转化思想． 2 教学建议与案例 教材习题都是经过专家反复挑选与设计的． 本章 习题基础性强， 内容丰富， 题型多样 ， 除了具有巩固基 础知识 、 发展基本技能的功能外 ， 一些题 目还 承担 着 展现知识 的责任， 肩负培养学生各方 面能力的使命． 为了更好地发挥教材习题 的功能 ， 我们一方面要研究 习题的内涵 ， 充分关注学生的认 知特 点， 使习题 的使 用合理 、 高效 ； 另一方面 ， 要充分挖掘 习题 的价值 ， 以 习题为载体构建数列知识 网络 ， 通过不 同习题教学形 式发展学生各方面的素 质， 真正使 习题 的使用“ 源于 课本 ， 又高于课本” ． 2 ． 1 学练结合， 层层推进。
适 当整合与拓展 鉴于以上提到的本章习题的巩 固基本知识、 发展 基本技能与展现知识双重功能 ， 我们要协调好学与练 之间的关 系， 灵活处 理教材 习题 ， 适 当变通 ， 适 时补 充 ， 才能收到期望的效果． 案例 1 P ． 4 6 B的组第 2题 ， 已知数列 { n } 是等 差数列 ， S 是其前 项和， 求证 S S 1 2 一S 6 ， S ， 8 一S 也成等差数列． 解决这个题 ， 可使学生 学会用定义法或等差中项 法证 明等差数列( 这是巩固概念与公式) 的问题． 之后 教师引导学生小结性质“ 若 { a ) 为等差数列时， S ， S 一S ， S ～s 也成等差数列 ， 公差为 n d ” ， 再把 P ． 4 4 例 2改编为“ 已知等差数列 { a ) 前 项 和为 S ， S 一3 1 0 ， S 一1 2 2 0 ， 求前 3 O项和 S ” ， 方法一， 可直接 用等差数列求和公式 ， 方程( 组) 思想； 方法二， 用上述 性质也可容易解决． 如这样的一般变形与联 系 ， 不脱离教材 ， 不加大 难度 ， 但无形 中推进 了知识层次 ， 对教材习题的深入 挖掘可谓恰到好处． 案例 2 P ． 6 1的 A组第 4题 ， 求和 ： ( 1 ) ( 口 一 1 ) + ( n 一 2 ) + ⋯ + ( n 一 )； ( 2 )( 2— 3× 5 )+ ( 4— 3× 5 )+ ⋯ + ( 2 n 一3× 5 ～ )： ( 3 ) 1 + 2 x+ 3 x + ⋯ + ～ ． ， 1 、 P · 4 7 第4 题 ， 数列{ 1 } 的前n 项和 一 —1_ 一 上 ⋯ ” 1 ×2 。
2 ×3 3 ×4 4 × 5 ‘7 z × ( + 1 ) ‘ 数列求和是“ 数列” 一章 中的重点与难点 内容， 但 经常用到的错位相减法、 分组求和法 、 拆项求和法在 教材中以习题出现． 建议在学习等 比数列前 项和公 式( 推导时用错位相减 法) 后 ， 以上述习题 为练习资 料， 连同之前学过的倒序相加法、 公式法 ， 进行数列求 和的常见类型及其解法小结． 立足教材习题 ， 整合教材习题 ， 以知识点为线索 ， 引导学 生多做概括与小结 ， 促进学生 自觉构建 知识 体系． 2 ． 2 渗透数学思想方法 培养学生数学思维能力 数学思想方法是数学的灵魂 ， 数学思想方法 的掌 握与灵活应用程度是数学水平 与数学能力高低的重 要标志． 数列习题 中蕴涵着丰富的数学思想方法 ， 是 提升数学思维能力的重要材料． 案例 3 求 和 1 +2 x + 3 x +⋯+7 z z 一 ． 解 ： S 一1 +2 z +3 z + ⋯+n _ ， ① ①式两边同时乘以公比 X， 得 ② x S 一 +2 x +3 x +⋯ +( 一1 ) z 一 + ， ③ ① 一③ 得 ④ ( 1 一z ) S 一1 + +z +z 。
+⋯+ - 1 一 ． ⑤ 当 z ≠1时， ( 1 --x ) S 一睾二一 ， ．·．S ： 一 ． ⑥ 一 ” i 一F 当 z= 1时 ， 由 ① 得 S 一 1+ 2+ 3+ ⋯ + 一 ． ⑦2 ’ 这是很简单 的错位相减法求数列前 项 和的题 目． 我们来分析一下解答过程． ①式不能用公式 ， 如何 转化才能用公式求和呢 ( 化 归转化思想) ?观察①式 特点 ， 可用错位相减法． 第②步的理 由是什么?为了 “ 制造” 错位 ， 第④步至第⑤步要错位相减 ， 原 因是 可 以合并 同类项 ， 而且所得求和形式 可部分使用公式 ， 第⑤至第⑥、 ⑦步 ， 因为使用等比数列求和公式时分 母不能为 0 ， 而公 比 未确定， 所 以采用分类讨论 ( 思 想 ) ． 我们不能只教会学生机械地套入步骤过程 ， 而是 要站在一个“ 为什么” 的高度去解题 ， 潜移默化地渗透 数学思想方法 ， 使学生的思维在解题 中得到 自觉提 升， 真正发展数学能力． 2 ． 3 指导数列建模 培养数学应用意识 数列 中的应用题基本上是在实际问题 中抽象 出 等差数列或等 比数列的模型 ， 并用其解决实际问题． 案例 4 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭 学 ， 该商场 向他提供 了三种付酬方案 ： 第一种 ， 每天支 付 3 8元； 第二种 ， 第一天付 4元 ， 第二天付 8元， 第三 天付 1 2元 依此类推 ； 第三种 ， 第一天付 0 ． 4元 ， 以后 每天比前一天翻一番( 即增加 1倍) ， 你会选取哪种方 式领取报酬呢? 第一步 ， 引言： 数学无处不在 ， 无时不有 ， 经常能 给我们的学习与工作带来帮助． 第二步 ， 审题 ， 分析数量关系 ： 以天计 ， 第 一种方 案付酬为 3 8 ， 3 8 ， ⋯， 3 8 ； 第二种方案付酬 为 4 ， 8 ， 1 2 ， ⋯； 第三种方案付酬为 0 ． 4 ， 0 ． 8 ， 1 ． 6 ， 3 ． 2 ⋯⋯． 第三步， 数列建模 ： 第一种付款方式为常数列； 第 二种付款方式为首项为 4 ， 公差为 4的等差数列； 第三 种付款方式为首项为 0 ． 4 ， 公比为 2 的等比数列． 设工作时间为 天 ， 三种付费方式的前 项和分 别为A 、 B 、 ， 则 A 一3 8 n ， B 一4 +坠 ×4 —2 + 2 ， c 一 二 一0 ．4 X ( 2 * 一 1 ) 。