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1、西南财经大学天府学院1.5 全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式 二、贝叶斯公式1西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得 红球的概率.解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，123一、全概率公式2西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院即 B= A1B+A2B+A3B， 且 &
2、nbsp; A1B、A2B、A3B两两互斥P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到 在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项 运用乘法公式得代入数据计算得：P(B)=8/153西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院l 样本空间划分 l基本思想把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和， 通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的 可加性，得到复杂事件的概率。4西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院定理1.1(全概率公式)如果事件 &
3、nbsp; 构成一个完备事件组，而且 则对于任何一个事件 ，有 (1.21)（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。注意：5西南财经大学天
4、府学院西南财经大学天府学院乘法定理证明关键：找完备事件组 ，利用 概率的可加性及乘法公式 6西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例2】播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种 子，1.5%的三等种子，1%的四等种子。用一、二、 三、四等种子长长出的穗含50颗颗以上麦粒的概率分别为别为 0.5，0.15，0.1，0.05，求这这批种子所结结的穗含50颗颗以 上麦粒的概率？解
5、：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的 事件是A1、A2、A3、A4，则它们构成样本空间的一个划分 。设B=“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦 粒”，则：7西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂 产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到 次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, &n
6、bsp; P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 =0.025由全概率公式得:8西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例4】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定
7、被击落, 求飞机被击落的概率.设B=飞机被击落Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)则 B=A1B+A2B+A3B求解如下:9西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院可求得:为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得: P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.10西南财经大学天府
8、学院西南财经大学天府学院于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458.11西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？ 解：设设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”， 则则=“从甲袋中取出一红红球放入乙袋”；B、为为的划分。又设设A=“从乙袋取到一只白球”,12西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院练习 1
9、0个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后 放 回去，第二次又随机地取出2个，问第二次取到几个新球的概率最大？13西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院该球取自哪号箱的可能性 最大?实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条 件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生 可能性大小.某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球,求该球是 取自1号箱的概率.1231红4白或者问:14西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院二、贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球 4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. &
10、nbsp;某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现 是红球,求该球是取自1号箱的概率 .1231红4白?15西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球求P(A1|B)运用全概率公式 计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?16西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院定理1.2(贝叶斯公式) 如果事件 构成一个完备事件组，而且 &n
11、bsp; 则对于 任何一个事件 ，若 ，有(1.22)m=1,2,n该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 17西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院注意:l先验
12、概率：公式（1.22）中， 事件 看作是导致事 件B发生的“因素”， 是在 事件B已经出现这一信息得知前 出现的概率，通常称为先验概 率。lP(Aj|B)是在事件B发生的条件下 ，某个原因Aj发生的概率，称 为 后验概率；Bayes公式又称为 后验概率公式或逆概公式，用 它进行的判断方法称为贝叶斯 决策。即先验概率后验概率18西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例6】市场上某种商品由三个厂家同时供
13、获,其供应量 为: 甲厂家是乙厂家的2倍,乙,丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. (2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求 它是甲厂生产的概率?解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:19西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例7】某一地区患有癌症的人占0.0
14、05，患者对一种试 验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是 阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性 ，问此人是癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”. 求解如下: 设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，求 P(C|A).已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,P(A|C)=0.95, P(A| )=0.0420西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 &nb
15、sp; P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？21西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 22西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为P(CA)=0.10662. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，
16、这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认. 23西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例8】【二进进信道】在数字通信中，由于随机干扰扰，因此接收 到的信号与发发出的信号可能不同，为为了确定发发出的信号，通常 需要计计算各种概率。若发报发报 机以0.7和0.3的概率发发出信号0和1 ；当发发出信号0时时，以概率0.8和0.2收到信号0和1；同样样地，当 发发出信号1时时，接收机以概率0.9和0.1收到信号1和0。计计算：当 接收机收到信号0时时，发报发报 机是发发出信号0的概率？
17、; 解：记记：A0=“发报发报 机发发出信号0”， A1=“发报机发出信号1”， B =“接收机收到信号0”。易知 001124西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院【例9】甲、乙两台机床，生产数量很多的同一种产品 ，根据已有资料及经验知道各机床产
18、量占总产量的比 例及各机床产品的废品率，现在从这批产品中随机地 抽取一件，发现它是废品，判断它是由哪台机床生产 的。25西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性 有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.甲乙丙 P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化.P(A1 | B)知道B 发生后 P(A2 | B) P(A3 | B)最大偏小26西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法 公式的综合运用. 综合运用加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0三、小结27西南财经大学天府学院
