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1、 l教学目标：1.知识与技能(1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得 探索和发现的体验.（2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系 ，形成对数学的整体性认识.2.过程与方法在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必 要性.3.情感、态度与价值观.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.l教学重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体 验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另 一个正方形，它的周长和面积分别
2、是已知正方形 周长和面积的2倍？ 解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a, 面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为此时周长应为 它不是已知给定的正方形的 周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不存 在这样的正方形. (2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?矩形的形状太多了,我们可以先研 究一个具体的矩形.l合作交流，解读探究如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会 怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流. 总结如下:有三种思路可以选择:(1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=6 是否有解的问题.(2)先固定所求矩形的面
3、积,将问题转化为方程 x+4/x=6是否有解的问题.(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么 其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积 应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组 然后讨论它的解是否符合题意.议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还 有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和 1,n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时， 是否仍然有相同的结论？ 解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长 和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6, 设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6,即x2-8x+6=0
4、.解得:经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为宽为解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周 长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和 面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽 为2(m+n)-x,根据题意,得x2(m+n)-x=2mn.整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0解得:结论: 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为宽为 练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否 仍然有相同的结论？l挑战自我1.观察下列各式:你能得到怎样的结论?并证明你的结论.解题
5、思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题 关键是探索归纳,猜想.2.已知:(1)如图,ABBD于点B,CDBD于点D, AD和 BC相交于点E,EFBD于点F.求证:(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB/CD,AD与 BC相交于点E,EF/AB交BD于点F,则(1)的结论还成 立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.(3)猜想SABD、SBED和SBDC有什么关系?并证明你的 猜想.l超越自我:已知等边ABC和点P,设点P到ABC三 边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ABC的高为h.若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论 :“h1+h2+h3
6、=h”，请直接应用上述信息解决下列问 题：当点P在ABC内,如图(2),点P在ABC外,如图 (3),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请 给予证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系, 请写出你的猜想,并证明你的猜想.NQ证明:过P作NQ/BC交AB、AC、AM分别为N 、Q、K.由题意得:h1+h2=AKKNQ/BC,PFBC,AMBC, KPF=MFP=KMF=900四边形KMFP是矩形 KM=PF=h3 AK=AM-KM h1+h2=h-h3 即h1+h2+h3=h图3又有怎样的关系呢 ?解:如图2,当点P在ABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”仍然成立.证明:设等边ABC的边长为a.连结PA、PB、PC，SPAB+SPAC+SPBC=SABC对于图3,又有怎样的关系 ?又如何证明?l总结反思，拓展升华 思考：对于图1，为什么会成立？对于图2呢？ 对于图2,证明如下:l通过本节课的学习,你有哪些收获?1.本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间 的内在联系.2.本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受 由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的 必要性.l布置作业:课本157页习题1,2,3,4.
