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1、数学教学中如何培养思维能力一、注重思维过程的揭示和分析数学课堂教学可以看作是有三个方面的思维活动：数学家的思维活动；数学教师的思维活动；学生的思维活动。 lr（1）怎样用其它方法度量一个角的大小？（2）能否用弧长度量角的大小？（4）给弧度制下定义。 （5）怎样确定弧度制的单位？例如：弧度制的引入，（3）怎样求弧长呢？1、揭示知识发生发展的过程斜率为k的直线与双曲线 (a0，b0)相交于A、B，线段AB中点为M，过M作x轴的垂线，垂足恰为双曲线的焦点，若双曲线的离心率为e ， 则k的取值范围是（ ）A|k| B|k|e C|k| D|k|e或|k|FABMyxOABMb2x12 a2y12a2b
2、2b2x22 a2y22a2b2错误解法：2、揭示学生思维的过程将ykxm代入 b2x2 a2y2a2b2，得（b2a2k2）x22a2kmxa2（m2b2）0 4a4k2m24（b2a2k2）a2（m2b2）0， 4a4k2m24（b2a2k2）a2（m2b2）0 ， 即m2b2a2k20 ， 将代入，得（a2k2b2）（a2k2c2）0， |k|e或|k|设A、B是双曲线 的两点，点N（1，2）是线段AB 的中点， 求直线AB的方程； 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D，那么A、B、C、D是 否共圆，为什么？ lAB：x-y+1=0，lCD：x+y-3=0，设经过A、B、C、D四点
3、的曲线系方程为：x2 - y2-1+（x-y+1）（x+y-3）=0，即2（+1）x2 -（+1）y2-4x+y-6-2=0，要使该曲线为圆，必须2+2= -1，此时，曲线系方程可化为：（x+3）2+（y-6）2=40，确为圆方程， 所以A、B、C、D共圆.教学相长二、突出数学知识的整体性和结构性突出数学知识的整体性和结构性，就是要把发展和 完善学生的数学认知结构作为数学教学的归宿和手 段。几何问题代数问题某种几何关系代数方程代数计算解析表示翻译回去xyOPQl: AxByC=0RSA(x x0)B（y y 0）=（ A x0 B y 0 C ）P(x0, y0)设M(x，y)为l: AxBy
4、C=0上任意一点，则问题转化为求|PM|的最小值。（A2+B2）|PM|2 （A2+B2）(x x0)2+(y y 0)2A (x x0)B （y y 0）2(Ax0By 0C）2|PM|2min当且仅当三、把问题作为数学教学的出发点2、问题是数学的心脏1、数学是思维活动的教学，而思维由问题开始 3、数学问题的作用在于提供思维的动力 提出问题： 上一节课我们研究了“已知一个椭圆，如 何建立它的方程”.现在研究这一问题的逆问题：“已知椭 圆的方程，如何画出椭圆”，比如，已知椭圆方程为 ，如何画出它的图形呢？ x是否可以任意取值，它有范围吗？y的取值范围如何？（ 引导学生考虑椭圆的范围）； 研究曲
5、线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.椭 圆上有哪些特殊点？（引导学生考虑椭圆的顶点）等等. 求y的值时，要不要“”都要考虑？（引导学生考虑椭圆的 对称性）； 紧接着，将所讨论的问题一般化，研究椭圆（ab0）的几何性质.合并同类项 问题1 求多项式4x2y2 x2y7 x2y的值，其中x = , y=2.（1）能不能使解题过程简捷些？ （2）能不能使上面的解题过程再简化呢？得到思路：把x2y看成整体，即先计算x2y的值再代入 学生发现：4x2y，2 x2y，7 x2y中的字母部分完全相同， 不论x，y取什么样的值，不同项中的x，y都分别表示同一 个数，于是用表示x2y，那么原式即为：427
6、因此根据乘法对于加法的分配律，可以化简为： （427）99 x2y 然后再代入计算，即先合并，再计算。至此，学生已发现了合并同类项法则 问题2 当x= 时，计算3x35x9 x34 x31的值。 （1）怎样才能得到简捷的解法？ （使用“先合并，再代入”的方法）（2）为什么能把3x3，9 x3，4 x3合并处理呢？为什么不能 把x与x3合并处理呢？（3）那么什么样的项才能“合并”呢？（字母部分完全相同） （4）什么叫做“字母部分完全相同”呢？（5）为什么要求字母部分完全相同呢？ （因为只有这样，才能保证字母部分表示同一个数）具有思维动力的问题应具备如下条件： 具有良好的载体性 问题应具有一定的挑
7、战性具有思维动力的问题的来源：实际问题 数学内部发展的问题 四、注重数学语言的学习1、语言是思想的直接现实2、数学的三种语言(1)文字语言、（2）符号语言、（3）图形语言1、对符号表达数学概念不习惯。如根据 不能判断数列bn为等差数列；又如，在等比数列 an 中，已知对于任意的自然数n，都有a1+a2+an=2n1，则a12+a22+an2等于（ ）。不知道a1+a2+an即为数列 an 的前n项和Sn， 从而不能利用Sn与an 的关系，求出 an 的通项。2、对含有符号的代数式进行变形处理的能力更加不足 。如已知数列 an 中，a1=1，n2时，其前n项和Sn满足，求Sn的表达式。即使在得出
8、an = Sn - Sn-1（n2），但化简为Sn-1 - Sn= SnSn-1时，茫然无措，不能变形为 ，从而判断数列 为等差数列。不知道需要消去（或代换）掉an；解方程 x24。解方程 x22。解方程 2x3。证明1，3，5，2n1，是等差数列。3、数学语言的转换12设函数 ，区间M=a，b(ab)，集合N= ，则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ） A0个 B1个 C2个 D无数多个xyO-1-11解 函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称.x0时，从函数f（x）的图象可知， f（x） 递减，要使M=N ，必须 f（a）= b ， f（b ）=a ， 即图象上存在两点 （ a ， b
9、 ）， （ b ， a ）问题转化为：直线y=-x+b与f（x）的图象是否有两个公共点？显然，它们没有两个公共点 。若a，b，c为实数，恒存在实数x，y，使0，则a，b，c满足Ac2 a2 +b2 B c2 a2 +b2 C c2 a2 +b2 D c2a2 +b2 而直线l过定点N，所以d1d2，即c2a2 +b2 已知条件变形为：表示点M（x，y）到直线l：ay-bx=0的距离；表示点M与定点N（a，b）的距离.lMNd1d2设0x1， 0y1，求证：11P（x，y ） xyO四、加强解题教学1、变式训练OABPABC中，CD2DB,BA5BE，AFmAD, AGtAC,求t的取值范围。A
10、BCDEFGE、F、G三点共线，2、一题多解3、突出解题中的探索环节 4、讲练结合 五、注重数学思想方法的训练和培养首先是具体的数学方法，如配方法、换元法、代入法、 消去法、割补法、待定系数法、反证法等 数学思想和方法有三个层面：最后是一般的逻辑方法，如分析法、综合法、类比法、 归纳法、演绎法等。其次是数学重要的思想，如函数与方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想，化归与转化思想等。若两个等差数列an、 bn 的前n项和分别为An和Bn ,且满足 ，则(04年高考) 设无穷等差数列an的前n项和为Sn. ()若首项 ，公差d=1，求满足 的正整数k ； ()求所有的无穷等差数列an，使得对于一
11、切正整数k都 有 成立. 设 Sn=xn2+yn x k4 + y k2 =（x k2+y k）2即 x k2 + y = x2 k2 +2xyk + y2上式对任意正整数k恒成立 ，x=x2 xy=0y=y2六、数学观念的培养1、理性精神 2、反思意识 求函数 的最大值.显然 不满足上述方程，所以4y-70.（1）或（2）（1）无解（2）（3）或 （4）（3）无解（4）综上y3已知公差不为0的等差数列的第k、n、p项构成等 比数列的连续三项，则该等比数列的公比为（ ）a1+(n-1)d2= a1+(k-1)d a1+(p-1)d(2n- k- p)a1 = (kp -k-p-n2+2n)da
12、k+(n-k)d2= akak +(p-k)d(n-k)2d2=(p+k-2n) akd,3、一般化的意识 一元二次不等式的解法 2、一般化，利用图象的方法，解决ax2bxc0（a 0 ） 、ax2bxc0（a 0 ）的解法； 1、利用图象的方法，解决具体的一元二次不等式x2x60（0）的解法； 3、利用已有的一般化的结果（模式），求解特殊的一 元二次不等式的解 ；4、将一元二次不等式转化为一元一次不等式组，通过 判定符号求解。这实际上是为了更为一般化的解法 作准备，即解分式不等式和可因式分解的高次不等 式作铺垫 （标根法）。4、化归的意识 等腰直角三角形ABC，C=900，D为三角形形内一点 ， DA=2，DB=6，DC=4，求证：ADC=1350。 ABCDD（x-a）2+y2=36 x2+y2=16 x2+（y-a）2=4 - a2-20=2ax - a2+12=2ay x y44226或（舍去）2+2，得 （a2-20）2+（a2+12） 2=4 a216a4-40 a2+272=0谢谢大家！
