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1、 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第二章 平面向量问题提出1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则?2.怎样理解向量的数乘运算a? (1)|a|=|a|;(2)0时,a与a方向相同;0时,a与a方向相反;=0时,a=0.3.平面向量共线定理是什么? 4.如图,光滑斜面上一个木块受到的重 力为G,下滑力为F1,木块对斜面的压 力为F2,这三个力的方向分别如何? 三者有何相互关系?GF1F2非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数,使ba. 5.在物理中,力是一个向量,力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解, 任何一个大
2、小不为零的力,都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来,就会形成一个 新的数学理论.探究(一):平面向量基本定理 思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2 ,如何求作向量3e12e2和e12e2? e1e22e2BCO3e1Ae1D3e12e2e1-2e2思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共 点射线,P为OC上一点,能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平 行四边形?MNOABCP驾考宝典网 http:/ 驾考宝典 驾考宝典网 http:/ 驾考宝典2016科目一 驾考宝典网 http:/ 驾考宝典2016科目四 驾考宝典 http:/ 驾考宝
3、典科目四 驾考宝典 http:/ 驾考宝典科目二 驾考宝典 http:/ 驾考宝典科目一 http:/ 驾考宝典2016电脑版 http:/ 驾考宝典2016手机版 驾考宝典网 http:/ 驾校宝典 驾照宝典 驾驶宝典思考3:在下列两图中,向量 不共线,能否在直线OA、OB上分别找一 点M、N,使 ?OABCMNOABCMNOABCMNOABCMN思考5:若上述向量e1,e2,a都为定向量 ,且e1,e2不共线,则实数1,2是否存 在?是否唯一?OABCMNOABCMN思考6:若向量a与e1或e2共线,a还能用 1e12e2表示吗? e1aa=1e1+0e2e2aa=0e1+2e2思考7:根
4、据上述分析,平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1,e2表示出来,从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗?若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数1,2,使a1e12e2.思考8:上述定理称为平面向量基本定理 ,不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. 那么同一平面内 可以作基底的向量有多少组?不同基底 对应向量a的表示式是否相同?若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数1,2,使a1e12e2.探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
5、 0,180 思考1:不共线的向量有不同的方向,对 于两个非零向量a和b,作 a, b, 如图.为了反映这两个向量的位置关系, 称AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜?baabABO思考2:如果向量a与b的夹角是90,则 称向量a与b垂直,记作ab. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底?ba思考3:把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.如图,向 量i、j是两个互相垂直的单位向量,向量 a与i的夹角是30,且|a|=4,以向量i、 j为基底,向量a如何表示?B aiOj AP思考4:在平面直角坐标系中,分别取与x轴 、y轴方
6、向相同的两个单位向量i、j作为基底 ,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、y,使得 a xiyj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a(x,y).其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴 上的坐标,上式叫做向量 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何?aixyOjxy思考5:相等向量的坐标必然相等,作向 量 a,则 (x,y),此时点A是坐 标是什么?AaixyOjA(x,y)理论迁移例1 如图,已知向量e1、e2,求作向 量2.5e13e2.e1e2COA2.5e1B3e2例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标 .2452abcd4 252
7、xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)例3 如图,在平行四边形ABCD中, =a, =b,E、M分别是AD、DC的中 点,点F在BC上,且BC=3BF,以a,b为 基底分别表示向量 和 .ABEDCFM小结作业1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理, 同时又是向量坐标表示的理论依据,是 一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是 0或180,垂直向量的夹角是90.3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系,它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点,则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.