第六章假设检验

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1、统计学原理统计学原理第六章 假设检验第一节第一节 假设检验概述假设检验概述2一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的另一种方式，它与区间估 计的差别主要在于：区间估计是用给定的大概率 推断出总体参数的范围，而假设检验是以小概率 为标准，对总体的状况所做出的假设进行判断。 假设检验与区间估计结合起来，构成完整的统计 推断内容。假设检验分为两类：一类是参数假设 检验，另一类是非参数假设检验。本章分别讨论 这两类检验方法。 3假设检验是一种推理，特点： 1.用反证法思想，为了检验 是否成立，先假定 此假设是成立的，再看由此会产生什么后果。若 导致一个不合理现象出现，表明原假设不正确， 拒绝 。 2

2、.区别于数学中反证法，这里所谓“不合理”，并 不是形式逻辑中的绝对的矛盾，是基于人们在实 践中广泛应用的小概率原理。小概率原理：即指概率很小的事件在一次试验中 实际上不可能出现。这种事件称为“实际不可能 事件”。 4例1：消费者协会接到消费者投诉，指控品牌纸包 装饮料存在容量不足，有欺骗消费者之嫌。包装 上标明的容量为250毫升。消费者协会从市场上随 机抽取50盒该品牌纸包装饮品，测试发现平均含 量为248毫升，小于250毫升。这是生产中正常的 波动，还是厂商的有意行为？消费者协会能否根 据该样本数据，判定饮料厂商欺骗了消费者呢？5消费者协会实际要进行的是一项统计检验工 作。检验总体平均 =2

3、50是否成立。这就是一 个原假设(null hypothesis)，通常用 表示 ，即： ： =2506与原假设对立的是备选假设(alternative hypothesis) ，备选假设是在原假设被否定 时另一种可能成立的结论。备选假设比原假设 还重要，这要由实际问题来确定，一般把期望 出现的结论作为备选假设。 7构造一个统计量来决定是“接受原假设，拒绝 备选假设”，还是“拒绝原假设，接受备选假 设”。对不同的问题，要选择不同的检验统计 量。检验统计量确定后，就要利用该统计的分 布以及由实际问题中所确定的显著性水平，来 进一步确定检验统计量拒绝原假设的取值范围 ，即拒绝域。在给定的显著性水平

4、下，检验 统计量的可能取值范围被分成两部分：小概率 区域与大概率区域。小概率区域就是概率不超 过显著性水平的区域，是原假设的拒绝区域 ；大概率区域是概率为1-的区域，是原假设 的接受区域。 8一般步骤：一般步骤：依据实际问题，建立原假设 和备选假设确定检验统计量，确定该统计量的抽样分布给定显著性水平，查表得临界值，因此确定拒 绝 的区间范围（拒绝域）据样本观察值计算统计量，做出决策是接受原假设 ，还是拒绝原假设9二、两种类型的错误二、两种类型的错误 10接受拒绝真实判断正确弃真错误(第一 类错误或错误 ) 不真实取伪错误(第二类 错误或错误) 判断正确 越大，就也有可能犯第I类错误，即越有可能

5、否定真实 的原假设。 越大，就越有可能犯第II类错误，即越有可能接受非 真的原假设。我们希望犯这两类错误的概率都尽可能小，但在一定样本 容量下，减少 会引起 增大，减少 会引起 增大。在假设检验中，我们一般事先规定允许犯第I类错误的概 率 ，然后尽量减少犯第II类错误的概率 。11三、检验功效三、检验功效* *在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯取伪 错误的概率也要尽可能地小，或者说，不取伪的 概率1-应尽可能增大。1-越大，意味着当原 假设不真实时，检验判断出原假设不真实的概率 越大，检验的判别能力就越好；1-越小，意味 着当原假设不真实时，检验结论判断出原假设不 真实的概率越小，即犯“纳

6、伪”错误的可能性很 大，检验的判别能力就越差。可见1-是反映统 计检验判别能力大小的重要标志，我们称之为检 验功效或检验力。12一、单侧检验与双侧检验13/21/2-Z/2 Z/2Z 0 0 Z双侧检验左侧检验右侧检验用单侧检验还是双侧检验，使用左侧检验还是 右侧检验，决定于备选假设中的不等式形式与 方向。与“不相等”对应的是双侧检验，与“ 小于”相对应的是左侧检验，与“大于”相对 应的是右侧检验。 14第二节第二节 总体参数检验总体参数检验15双侧检验双侧检验当H0： ；H1： 时，就必须用双侧检验 ，其目的是观察在规定的显著性水平下所抽取 的样本统计量是否显著地高于或低于假设的总 体参数。

7、标准正态曲线下两个尾部面积各占 ，这样就 有了两个拒绝区域。如果样本统计量落在这两 个区域内，就拒绝原假设。注意：在双侧检验 中差距是不分正负的。16双侧检验的接受区域和拒绝区域双侧检验的接受区域和拒绝区域17单侧检验单侧检验单侧检验分为左侧检验和右侧检验两种，它们 都只有一个拒绝域左侧检验一般，若假设为H0： ，H1： 就用左侧 检验 右侧检验若假设为H0： ，H1： 就用右侧检验18二、总体平均数检验二、总体平均数检验参数检验都是先对样本所属总体的性质作出若 干的假定，或对总体的分布形状加以限定，然 后对总体的有关参数情况进行统计假设检验。 因此，参数检验又称为限定分布检验。如在总 体服从

8、正态分布条件下，对其均值进行检验。 下面通过具体例子来说明参数检验方法。19（一）总体标准差已知（一）总体标准差已知 在例1中，按历史资料，总体的标准差是4毫 升。我们通过检验总体均值是否等于250毫升， 来判断饮料厂商是否欺骗了消费者。程序如下 ： 20第一步：确定原假设与备选假设。 ： =250； ： 1.645。27第四步：计算样本统计量第五步：由于计算的样本统计量z1.645，所以拒绝 原假设，说明该类型的电子元件的使用寿命确实有所 提高。28（二）总体标准差未知（二）总体标准差未知 总体标准差未知时对总体均值检验经常用t统 计量：但是，在大样本场合(样本容量n大于30时)，t -统计

9、量与标准正态分布统计量近似，通常用z 检验代替t检验。29例3：某糖果生产基地，生产的标准是每袋糖果 的净重500克，今从一批产品中抽取10袋，实际 测定糖果的平均净重为500.7克，样本标准差为 6.601克。给定显著性水平0.01，试问该批糖果 的生产是否正常。30解：（1）建立假设（2）确定样本统计量及分布总体标准差未知，用样本标准差代替，使用t统计 量：（3）确定临界值，双侧检验，n=10，=0.01,查t 分布表得到 ，拒绝区域为31（4）计算样本统计量（5）判断，t=0.335在-3.25,3.25，所以不能拒 绝原假设，即在99%的可靠性下，可以认为该批生 产正常。32例4：接例

10、3，假定所要检验的是该批生产是否显 著的高于标准。解：此题变为右单侧检验。（1）建立假设（2）样本统计量同例3（3）确定临界值，属于单侧检验，n=10， =0.01,查t分布表得到 33（4）计算统计量，（5）t=0.335 30%。以上的备选假设是企业自我声明的结论，我们 希望该企业说的是实话。因此使用右侧检验。37第二步：构造z检验统计量。第三步：确定拒绝域。显著水平=0.05，查标准正态分布表得临界 值： =1.645，拒绝域是z1.645。38第四步：计算检验统计量的数值。样本成数P=220/600=0.37，总体假设的成数p =0.3,代入z检验统计量得：39第五步：判断。检验统计量

11、的样本取值z=3.51.645，落入拒 绝域。拒绝原假设，接受备选假设，认为样本 数据证明该企业声明属实。40四、四、P-P-值检验值检验一个假设检验问题的结论是简单的，给定显著性 水平，不是拒绝原假设，就是接受原假设，但是 有可能存在如下情况：在显著性水平=0.05时拒 绝了原假设，但在显著性水平=0.01下保留原假 设。因为降低显著性水平会导致拒绝域缩小，这 样原来落在=0.05的拒绝域中的检验统计量的观 察值有可能落在=0.01到接受域中。由此提出p- 值检验。 41p-值检验就是通过计算p-值，再将它与显著性水 平作比较，决定拒绝还是接受原假设。所谓p- 值就是拒绝原假设所需的最低显著

12、性水平。p-值 判断的原则是：如果p-值小于给定的显著性水平 ，则拒绝原假设；否则，接受原假设。或者， 更直观来说就是：如果p-值很小，拒绝原假设，p -值很大，接受原假设。请大家注意的是这里的p- 值是指概率，不要与成数指标相混淆。 42（一）z检验的p-值：检验统计量为z统计量的p-值计算公式， 表示检 验统计量的抽样数据，则p-值的计算方法如下：如果： ， p-值= 如果： ， p-值= 如果： ， p-值= 43例6：利用p-值检验重新检验例1。解：第一、第二步与例1完全相同，故省略之。第三步：计算样本统计的数值。样本平均数 ，n=50，代入检验统计 量得： 44第四步：计算p-值。使

13、用左侧检验，p-值= 。查标准正态 分布表得：p-值= 1-F(3.54)/2 = (1-0.9996)/2 =0.0002第五步：判断。p-值小于给出的显著性水平(0.05)，拒绝原假 设，接受备选假设，与例1的结论相同。45 例7：某国总统选举中，有位候选人几个月前支持率60%。近期一项调查，访问500人，发现他的 支持率变为55%。显著性水平取0.05，检验他的支 持率是否下降了？并用p-值方法进行检验。46解：（1）建立假设（2）构造检验统计量（3）确定拒绝域，左单侧检验，显著水平=0.05， 查标准正态分布表得临界值：- =-1.64547（4）计算检验统计量，P=55%（5）判断z

14、=-2.28-1.645，表明落入拒绝域，积极原假设， 说明该候选人的支持率已经下降了。48运用p-值方法：（1）-（3）同上，（4）计算p-值，由于左侧检验，（5）判断，p-值小于显著性水平0.05，没有 充分理由接受原假设，有足够的证据证明该候 选人的支持率已经下降了。与上述结论同 49（二）（二）T T检验的检验的P-P-值值与前者方法相同，区别在于进行t检验，其p-值查 t分布表，自由度是n-1。在大样本场合，此差别 可以不存在，因为此时t分布与标准正态分布近 似。50P-P-值检验一般步骤：值检验一般步骤：（1）建立原假设与备选假设；（2）确定检验统计量及其分布；（3）将样本观察值带入检验统计量计算其样本数 值；（4）计算p-值；（5）将p-值与显著性水平比较，作出判断。51