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1、刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系第三章第三章 阶跃折射率分布光纤阶跃折射率分布光纤 1刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.1 3.1 引言引言 n n数学模型数学模型n n园柱坐标系中的波导场方程园柱坐标系中的波导场方程n n边界条件边界条件n n本征解与本征值方程本征解与本征值方程n n本征值与模式分析本征值与模式分析2刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系数学模型数学模型n数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一 种理想的数学模型,即认为光纤是一种无限大 直园柱系统,芯区半径a,折射率为n1;包层沿径 向无限延伸,折射率为n2;光纤材料为线性、无 损、各向同性的
2、电介质。3刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.2 几何光学方法分析 n光线分类n光线轨迹：子午光线n光线轨迹：倾斜光线4刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系光线分类n子午光线： 限制在子午平面内传播的光 线 与光轴相交n倾斜光线： 轨迹曲线不限制在一个平面 内 不过光轴5刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系子午平面6刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系SIOFSIOF中光线的传播中光线的传播: :子午光线 折射率分布: 光线轨迹: 限制在子午平面内传播的锯齿形折 线。 光纤端面投影线是过园心交于纤壁的直线。 导光条件: 临界角: 数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入
3、射媒质折 射率与最大入射角的正弦值之积,即 相对折射率差: 最大时延差：n1n27刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系SIOFSIOF的传输容量的传输容量n传输传输 容量: 时时延差的倒数n多模光纤: n1=1.5, =1%, t =50 ns/km 传输带宽: 1/ t = 20 MHzkm 结论1: 多模光纤通信容量并不高!n由一点发出的光线不能会聚在另一点: 结论2:多模光纤不适合于传输图像!8刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系信息传输速率与媒介的容量n n信息传输速率信息传输速率 Audio: Audio: 9.6-128 kbit/s9.6-128 kbit/s TV:
4、 TV: 1-6 Mbit/s1-6 Mbit/s HDTV: HDTV: 10-100 Mbit/s10-100 Mbit/sn n通信媒介传输速率：通信媒介传输速率： 卫星卫星/ /微波：微波： 140 Mbit/s140 Mbit/s 同轴电缆：同轴电缆：60 Mbit/s60 Mbit/s 光纤：光纤：50 Tbit/s50 Tbit/s9刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系光通信速率的不断提升速率速率(Mb/s)(Mb/s)容纳电话容纳电话( (路）路）2 230308 8120120 3434480480 1551551920 1920 622622768076801.25
5、Gb/s 1.25 Gb/s1543615436 2.5 Gb/s2.5 Gb/s3072030720 10 Gb/s10 Gb/s122880122880 40 Gb/s40 Gb/s491520491520160 Gb/s 160 Gb/s1966080196608010刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系1310nm/1550nm窗口的波分复用仍用于接入网，但很少用于长距离传输1550nm窗口的密集波分复用(DWDM)可广泛用于长距离传输，用于建设全光网络波分复用技术的发展波分复用技术的发展11刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系可利用的波长资源可利用的波长资源nO-band
6、 (Original): 1260-1360 nmnE-band (Extended): 1360-1460 nmnS-band (Short):, 1460-1530 nmnC-band (Conventional):1530-1565 nmnL-band (Long):1565-1625 nmnU-band (Ultralong): 1625-1675 nm采用超密集波分复用技术采用超密集波分复用技术, , 一根光纤可以同时传输一根光纤可以同时传输10001000个波个波 长信道长信道, , 意味着意味着: : 全世界的人可以同时通过一根光纤打电话全世界的人可以同时通过一根光纤打电话! !
7、12刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系SIOFSIOF中光线的传播中光线的传播: : 倾斜光线n光线轨迹： (螺旋折线) 内散焦面半径：n数值孔径：(大于子午光线)n最大时延差：(大于子午光线)13刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系极限情况，当满足极限情况，当满足coscos n n2 2/n/n1 1时，时，s s，尽管光线依然，尽管光线依然可以满足内全反射条件而被约束在纤芯中，但光线仅仅在光纤可以满足内全反射条件而被约束在纤芯中，但光线仅仅在光纤 横截面上频繁反射而不沿横截面上频繁反射而不沿z z轴向前传播。显然，若考虑偏斜光轴向前传播。显然，若考虑偏斜光线的传播，光纤的传
8、输带宽比仅考虑子午光线时要小。线的传播，光纤的传输带宽比仅考虑子午光线时要小。 14刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.3 3.3 波导场方程及导模本征解波导场方程及导模本征解n n六个场分量：六个场分量：E Er r,E,E ,E,Ez z,H,Hr r,H,H ,H,Hz zn n波导场方程：波导场方程：n n解的基本形式：解的基本形式：15刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系贝塞尔方程及其解贝塞尔方程及其解n纵向场分量满足：贝塞尔方程n贝塞尔方程的解： 第一类和第二类贝塞尔函数：Jl, Nl 第一类和第二类汉克尔函数：Hl (1) , Hl (2) 第一类和第二类变态汉克
9、尔函数：Il , Kl16刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系17刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系18刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系场解的选取场解的选取n n依据：依据： 导模场分布特点导模场分布特点: :在空在空 间各点均为有限值间各点均为有限值; ; 在芯在芯 区为振荡形式区为振荡形式, ,而在包层则而在包层则 为衰减形式为衰减形式; ;导模场在无限导模场在无限 远处趋于零。远处趋于零。 贝塞尔函数形式贝塞尔函数形式: J: Jl l呈呈 振荡形式振荡形式, K, Kl l则为衰减形则为衰减形 式。式。n n本征解选取本征解选取: : 在纤芯中选取贝在纤芯中选取
10、贝 赛尔函数赛尔函数J Jl l, ,在包层中选取变在包层中选取变 态汉克尔函数态汉克尔函数KKl. l. .19刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系本征解的确定本征解的确定n纤芯(0a)：n横向分量： 可由纵横关系式求得20刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系21刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.4 3.4 本征值方程本征值方程 22刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系本征值方程的物理意义本征值方程的物理意义又称特征方程，或色散方程。其中U与 W通过其定义式与相联系,因此它实际是关 于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定 时, 对于不同的l值,可求得相应的值
11、。由于 贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所 以本征值方程可以有多个不同的解 lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一个lm都对应 于一个导模。23刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系课堂测验（2）n说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。n波导场方程具有什么样的数学特征？n说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。n传播常数的的物理意义是什么。n说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。n说明光波导数值孔径的物理意义n子午光线的主要特征是什么? n光线时延差影响光通信的什么性能？n在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？n在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数
12、分别具有什么数学 特征？24刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.3 3.3 本征值方程本征值方程 n本征解：n纤芯(0a)：n边界条件：Ez和Hz在ra处连续： 得到：25刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系n nE E 和和H H 在在r ra a处连续处连续 ，得到：，得到：26刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系n欲获得A与B不全为零的解， 须使方程组特征行列式为 零：n得到本征值方程： 27刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系本征值方程的物理意义本征值方程的物理意义又称特征方程，或色散方程。其中U与 W通过其定义式与相联系,因此它实际是关 于的一个超越方程。
13、当n1、n2、a和0给定 时, 对于不同的l值,可求得相应的值。由于 贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所 以本征值方程可以有多个不同的解 lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一个lm都对应 于一个导模。28刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.4 模式分析 29刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系本征值方程n n形式形式1 1：n n形式形式2 2：n n定义：定义：30刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.4.1 3.4.1 光纤中的模式及其分类光纤中的模式及其分类 HEHE模偏振旋转方向模偏振旋转方向 与波行进方向一致与波行进方向一致( ( 符合右
14、手定则符合右手定则), EH), EH 模偏振旋转方向则模偏振旋转方向则 与光波行进方向相与光波行进方向相 反反; ;K K1 1=n=n1 1k k0 0 K K1 1=n=n2 2k k0 031刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系模式分类的模式分类的 q q 参数参数32刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系3.4.23.4.2模式本征值模式本征值 n n模式的本征值模式的本征值 可由可由U U或或WW求得求得n n在一般情况下由本征值方程求本征值很复在一般情况下由本征值方程求本征值很复 杂杂, , 只能利用计算机进行数值计算。只能利用计算机进行数值计算。n n两种情形可很容易
15、地确定本征值两种情形可很容易地确定本征值: : 导模处于导模处于临近截止临近截止 导模处于导模处于远离截止远离截止 33刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系贝塞尔函数递推公式贝塞尔函数递推公式( (I I) )微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：34刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系贝塞尔函数递推公式贝塞尔函数递推公式( (IIII) )微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：35刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系TETE0m0m模式模式( ( =0, q= =0, q= ) )U=0U=0不是本征值不是本征值! !J J0 0 =(1/2)(J=(1/2)(J-1-1J J1 1)=)=J J1 1 K K0 0 =(=(1/2)(K1/2)(K-1-11 1)=)=K K1 1U0时J1(U)UJ0(U)1/2 36刘德明：光纤光学 华中科技大学光电子工程系TMTM0m0m模式模式( ( =0, q=0=0, q=0) )n n导模截止导模截止: : n n导模远离截止导模远离截止: :n nTETEomom模与模与TMTMomom在截止与远离截止时具有相同的本征值，在截止与远离截止时具有相同的本征值， 即两种模式处于简并
