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1、Kolmogorov-Smirnov 检验法问题的提出 在进行累计概率统计的时候，如何区分组之间是 否有显著差异？ Kolmogorov-Smirnov检验（K-S检验）基于累积分 布函数，用以检验一个经验分布是否符合某种理论 分布或比较两个经验分布是否有显著性差异。 两样本K-S检验由于对两样本的经验分布函数的位 置和形状参数的差异都敏感而成为比较两样本的最 有用且常规的非参数方法之一。单样本K-S检验 单样本的K-S检验是用来检验一个数据的观测经 验分布是否是已知的理论分布。当两者间的差距 很小时，推断该样本取自已知的理论分布。作为零假设的理论分布一般是一维连续分布 F（ 如正态分布、均匀
2、分布、指数分布等），有时也 用于离散分布（如Poisson分布）。即H0：总体 X 服从某种一维连续分布 F。检验统计量为 H0真，Z依分布收敛于Kolmogonov 分布。即，当样本取自一维连续分布F时， 注：当F是连续分布时，随机变量K 的分布不依 赖于F。Kolmogonov 分布维纳过 程W(t)：W(0)=0; 具有平稳独立增量；且布朗桥 ： 考虑随机变量 ，其分布函数为 称之为Kolmogonov 分布。例1. 对一台设备进行寿命检验，记录10次无故障 工作时间（数据如下）。检验其是否服从1/1500的 指数分布？X=c(420, 500, 920, 1380, 1510, 165
3、0, 1760, 2100, 2300, 2350) ks.test(X,“pexp“, 1/1500)Output: D = 0.3015, p-value = 0.2654 alternative hypothesis: two-sided结论： p值大于0.05，不拒绝原假设，认为此设备 无故障工作时间服从1/1500的指数分布。两样本K-S检验 假定有分别来自两个独立总体的两个样本。要想 检验它们背后的总体分布相同的零假设，可以进 行两独立样本的K-S检验。原理完全和单样本情况 一样。只不过把检验统计量中零假设的分布换成 另一个样本的经验分布即可。假定两个样本的样 本量分别为n1和n2
4、，用F1 (X)和F2 (X)分别表示两 个样本的累积经验分布函数。再记 DjF1 (Xj)-F2 (Xj)。检验统计量近似正态分布,表达式为 例2. 有分别从两个总体抽出的25个和20个观察值的 随机样本（数据如下）。检验其是否可以认为来自 同一分布？X=scan() 0.61 0.29 0.06 0.59 -1.73 -0.74 0.51 -0.56 0.39 1.64 0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.37 1.77 1.09 -1.28 2.36 1.31 1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2.47Y=scan() 2.20 1.66 1.38 0.20 0.
5、36 0.00 0.96 1.56 0.44 1.50 -0.30 0.66 2.31 3.29 -0.27 -0.37 0.38 0.70 0.52 -0.71ks.test(X,Y)Output: Two-sample Kolmogorov-Smirnov test data: X and Y D = 0.23, p-value = 0.5286 alternative hypothesis: two-sided 结论：p值大于0.05，不拒绝原假设，可以认为两个 样本来自同一分布。K-S检验与卡方检验的比较 相同点：都是采用实际频数和期望频数之差进 行检验。不同点：卡方检验主要用于类别数据，而K-S检 验主要用于有计量单位的连续和定量数据。卡方检验也可以用于定量数据，但必须先将数 据分组才能获得实际的观测频数，而K-S检验法 可以直接对原始数据的n个观测值进行检验，所 以它对数据的利用较完整。K-S检验的优势和劣势 作为一种非参数方法，具有稳健性； 不依赖均值的位置； 对尺度化不敏感； 适用范围广（不像 t 检验仅局限于正态分布， 当数据偏离正态分布太多时t 检验会失效； 比卡方更有效； 如果数据确实服从正态分布，没有 t 检验敏感 （或有效）。
