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1、近世代数第四章 整环里的因子分解2 主理想整环、欧式环 Date一、主理想整环 定义1：引理1：假定R是一个主理想环，若在序列如果整环R的每一个理想都是一个 称其为主理想环.主理想，引理2：假定R是一个主理想环，那么I的a1,a2,a3,(aiR)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环.一个不可约元P生成一个最大理想.Date二、欧式环 定义义2 设设为为整环环,为为到的映射. 如果满满足:任给给 ,存在,使得 这这里, ,则则称关于做成一个欧氏环环.例1是欧氏环环. 证证明：且 是欧氏环环.Date例2 设设为为域,环环是欧氏环
2、环.设设,令证证明: (1)如果,则则存在,使得 .令Date（2）如果 ,取,使得为为中次数最小的多项项式,则则 ,使得存在下证证:(反证证) 如果 ,令,令Date则则.而与的选选取矛盾.Date例3 Zi 是欧氏环.证证明 令 ,那么,将限制到上,称为为到的映射. ,有如果 ,令 对对任意的,取,使得，则则 Date,于是，令,则则,且,而所以是欧氏环环.Date定理2欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环. 证证明 设设关于做成一个欧氏环环,为为的任一理想.如果,则则如果 ,令 则则非空,且. 设设:,使得为中的最小数,下证Date任给给,因为为,所以存在 ,使得于是, 如果,则则,与矛盾.所以,于是由的任意性可知 又,所以,从而的选取则这这就证证明了, 的任一理想都是主理想,为主理想整环.Date辗转相除法 设设关于做成一个欧氏环环,则则 有因为为故最后必有某个 )为为零.从而有(不妨设为设为Date而且因此,在欧氏环环中,最高公因子可通过过辗转辗转 相除法求得,且可通过过“回代“法求得相应应的表示式.Date例4 设设 ,求,使得解 应应用辗转辗转 相除法得,Date例5 在中,求 使得解 Date
