数学及其思想的应用价值

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1、第2章 数学及其思想的应用价值韩龙淑制作 13754894653数学及其思想的应用价值 教学目的：体味数学及其思想方法的应用价值； 理解数学思想的六次重大突破，从认识论和思想 方法的角度体味数学新学科和新思想产生的必要 性。 内容要点：数学的应用价值；从算术到代数，从 综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学 ，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数 学，从手工证明到机器证明。 教学方法：启发式讲授、讨论等相结合 教学手段：多媒体教学 授课时数：6课时 数学的应用价值：数学的实际应用价值 数学的思维熏陶价值 数学对人类的思维训练所具有的价值是数 学应用性的最大体现 思维的结果形成思想 2.

2、1 数学的实际应用价值 数学的发展除了知识等量的积累外，更主 要的是数学思想的重大突破新学科 2.2 数学思想的重大突破2.1数学的实际应用价值 数学发展的抽象程度越来越高，是否和社 会实践相脱离呢？恰恰相反，数学在历史 上经久不衰地发展下去，其生命力恰恰在 于实际的应用。2x+3y=10 目前数学已渗透到自然、社会、人文等许 多领域。正如马克思所说：一门科学，只 有当其成功地用到数学时才算达到完美的 地步。（一）数学在实际生活中的应用例1：著名的“哥尼斯堡七桥问题”哥尼斯堡是18世纪东普鲁士的一个城市， 流经市区的普列格尔的河湾处，有两个小岛和 七座桥，如图所示。人们提出了一个有趣的问 题：

3、能否在一次连续的散步中不重复的走过这 七座桥？ 例2：绳子自然打结问题（手不离开绳子的两端 ） ：数学中的扭结理论 例3：斐波那契数列 澳洲、新西兰动物园火灾，野兔繁殖速度惊人 一个人到集市上买了一对小兔子，一个月后，这 对小兔子长成大兔子，然后这对大兔子每过一个 月就可生1对小兔子。而每对小兔子也是一个月 后长成大兔子，长成大兔子后每过一个月就可生 1对小兔子，那么此人从市场上买回那对小兔子 算起，第12个月时拥有多少对兔子(大兔子、小 兔子)。 分析：对前几个月进行实验，观察规律，开始第 1个月时1对，第2个月 1+1=2对，3月 3对， 4月 5对，5月 8对，6月 13对，因此 月份

4、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小兔子 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 大兔子 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 观察可知，每月小兔子对数等于上月大兔子 对数，每月大兔子对数为上月大兔子对数与 小兔子对数之和。 为了纪念兔子繁殖的创始人，人们把数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，233，377称为斐波那契数列。 有趣的是： 自然界中竟有一些现象与斐波那契数列有 关。向日葵的种子盘。雏菊花，它的花心 的蜗形小花，有21条向右转、34条向左转 。据说松果球、菠萝凸起的排列也为58 和813

5、。 目前此数列在数学、物理、化学和生物学 中经常出现，它又具有很奇特的数学性质 ，所以美国数学会每三个月出版一本专门 讨论此类问题的杂志，称为斐波那契季刊 。 花坛的种植问题 在一块正方形空地上种植花草，使花草面 积为正方形面积的一半，如何种使花坛近 尽可能美观？数学在生活中的应用：密铺（二）数学在生产技术中的应用 例：莫比乌斯带的运用（演示直观图和模 型） 是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面 ），和一个边界。（二）数学在生产技术中的应用 数学在医疗中的应用 例：CT技术的应用 CT是一种医学影像诊断技术，其原理是用 射线透射人体，然后用检测器测定透射后 的放射量。通过计算机处理，重建出人体

6、 断层图像并作出诊断，这是数学的图像重 建原理在医学上的成功运用。（三）数学在语言中的应用 数学在语言学中的运用 例：红学界的争论 文学中红楼梦共120回，后40回出自谁手 ？对名词、动词、形容词、副词、介词等 统计用词的相关量，认为出自曹雪芹之手 。例：作者是谁？让数学来说话！ 1964年，美国统计学家摩斯泰勒和瑕莱斯 考证了12篇署名“联邦主义者”的文章作者 ，可能的作者是两个人，一个是美国开国 政治家汉密尔顿，另一位是美国第四任总 统麦迪逊。 究竟是哪一位呢？统计学家在进行分析时 发现汉密尔顿和麦迪逊在已有著作中的平 均句长几乎完全相同。这使得这一能反映 写作风格特征的数据此时失效了。

7、统计学家转而从用词习惯上来找出这两位 作者的有区别性的风格特征，而且终于找 到了两位作者在虚词的使用上有明显的不 同。 汉密尔顿他已有的18篇文章中，有14篇使 用了“enough”一词；而麦迪逊在他的14篇 文章中根本未使用“enough”一词。 汉密尔顿喜欢用“while”，而麦迪逊总是用 “whilst”。汉密尔顿喜欢用“upon”，而麦 迪逊很少用。 然后，再把两位可能的作者的上述风格特 征指标，与未知的12篇署名“联邦主义者” 的文章中表现出来的相应的风格特征进行 比较。 结果发现那位署名“联邦主义者”的作者就 是美国第四任总统麦迪逊。 例：下列式子中的汉字表示不同的数目(0，1，

8、29)，试找出汉字所代表的数字，使算式成立 ，年年岁岁=花相似，岁岁年年=人不同。 分析：从第一式观察，这两位数之积等于三位数 ，并且年、岁1，因而(年、岁)只有(2，3)， (2，4)，(3，2)，(4，2)四种可能。 第二次实验又可知岁岁年年，因此实验范围为 (3，2)，(4，2)。若年=3，岁=2，3322=726, 花=7，相=2，似=6，相=岁，不符合。若年=4 ，岁=2，则4422=968,花=9，相=6，似=8， 2244=1 2=人 不同，人不同只能取0，1 ，3，5，7，不同为两位数，人为一位数，且不 同为人的两倍，人不能为0，1，3，只有两种可 能，人=5，不=1，同=0。

9、（思维熏陶）（四）数学在各学科中的应用汉语言、音乐、历史、地理、思想政治 、体育、英语、舞蹈、美术、计算机、经 济学2.2数学思想的六次重大突破 从算术到代数 从常量数学到变量数学 从综合几何到几何代数化 从必然数学到或然数学 从明晰数学到模糊数学 从手工证明到机器证明 一、从算术到代数 例：鸡兔同笼问题 鸡兔共有头18只，足60只，问鸡兔各有多 少只？ 解1：假设18只全为兔，有72只足，多出12 只足，多假设了6只兔，因此有兔12只，鸡 6只。 解2：金鸡独立，兔后足站立，着地足数为 30，足与头18差12，兔为12只。 解3：兔4足，鸡2足，不公平。鸡有2只翅 膀。翅膀也算足共72。有1

10、2只翅膀，6只鸡 有两种思维方法： 算术方法：尝试，调整、穷举，列表假设，推理。代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解 方程。 问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有 46元买10支笔，应如何购买？ 算术方法（一）尝试（猜测）调整有的学生尝试：买4支铅笔6支钢笔，共需要58元。 调整：只有46元，不足，只能少买一些钢 笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。 再调整：自己有46元，还可多买钢笔 ；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。代数方法算术方法：不允许未知数参与运算（未已不 平等-类似种族歧视） 基本特征：算数（加减、乘、除） 基本特征：用“术”算（有规律地

11、算） 基本特征：不同的算法不同的计算途径 或程序 基本特征：解决一个一个的具体问题 通过“术”和“算”解决的问题是算术问题 。 通过“术”和“算”体现逻辑思维演绎。代数方法特征： 分析规律 表示规律 解决问题代数方法：未知数参与代数运算（地位平等 ） 基本特征：用字母代替数 基本特征：用字母表示规律量之间的相等关系、不等关系、函数关系 基本特征：通过字母的运算和运算规律解决问题 基本特征：不同的算法不同的计算途 径或程序 基本特征：一类一类地解决问题代数方法 通过字母的运算和运算规律解决的问题是代数问题 。通过运算和运算规律体现逻辑思维演绎 算术方法与代数方法 共性：通过“算”和“算律”解决问

12、题通过“算”和“算律”体现数学的逻辑思 维 不同： 算术： “算数”代数：“算字母” 算术：解决具体问题代数：解决一类问题 算术方法解法多变，易培养学生的兴趣， 比冷冰冰第设x列方程有人情味。过早在小 学引入方程，有时易使学生思维简单化甚 至僵化。 练习：小明第一天读了全书的1/4又4页， 第二天读了余下的1/4又4页，还剩20页， 这本书多少页？ 一只船从甲地到乙地，往返共用2小时，回来时 是顺水，比逆水每小时多行8千米，第二小时比 第一小时多行6千米，甲乙相距多少千米？ 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元， 若哥把自己的 给弟，弟又把原来自己的 给 哥，则弟比哥多10元，哥弟原来各有

13、多少元？ 一辆汽车从甲地到乙地，若把车速提高到原速 的1.2倍,可比原定时间提前1小时到达;若原速行 驶120千米后,再将速度提高到原速的1.25倍,则 可提前40分钟到达,甲乙两地相距多少千米？ 直观想象线段图、方形图 如何看待算术和代数方法? 必要的思维经历、思维方式、思维方法 想象、推理、空间感知的作用 公交车和地铁的不同感受。 代数解法有一定规律. 例：欧拉的分遗嘱问题 一位父亲临终时让他的几个孩子按如下方 式分遗产：老大100克朗和剩下的1/10，老 二200克朗和剩下钱的1/10，老三拿300克 朗和剩下的1/10，老四拿400克朗和剩下的 1/10，依次类推，分完后发现这种方法好

14、 极了，因为每个孩子分的钱相等，问有几 个孩子？每个分多少钱？ 代数运算具有较大的普遍性。 代数的产生极大地拓宽了数学的应用范围 。许多算术无能为力的问题在代数中轻而 易举。 代数学的产生对整个数学发展产生了深远 的影响，许多重大发现都与代数的思想方 法有关。二次方程-虚数，五次方程-群论 代数应用于几何-解析几何。 文词代数简字代数符号代数 二、从综合几何到几何代数化 1.几何代数化思想产生的背景 综合几何的产生背景 几何、代数研究方法各自的优势和不足 几何：严谨的推理方法、图形直观、解题 技巧（正方形的问题） 代数：符号抽象、解题方法一般化、有一 定的规律 数学家韦达、法国哲学家笛卡尔（蜘

15、蛛网 ） 法国数学家费尔马 解析几何的基本思想 2.几何代数化的意义 （1）把几何学推向新的阶段:定性定量、静态 动态（垂直斜率） （2）为代数学的研究提供了新的工具 构造图形解不等式问题、三角函数值 直观模型和解释 例求15的三角函数值 （3）为微积分的创立准备了必要条件 变数的引入 曲线、轨迹、变量 变数引入数学为微积分的创立奠定了基础 ，解析几何的产生可看做是微积分创立的 前奏。 恩格斯曾高度评价：数学中的转折点是笛 卡尔的变数，有了变数运动进入数学，辩 证法进入数学，有了变数微分和积分立刻 成为必要。 （4）为数学的机械化证明提供了重要启示 推理程序机械化 定理机械化证明的方法论基础是利用代数 方法把推理程序机械化，借助计算机完成 ，根源可追溯到几何代数化。 （5）对数学研究从方法论上予以启示 点与数对对应、曲线与方程对应、形数结 合的思想：微分几何、空间解几、向量的 思想（直线与平面垂直的判定） 三、从常量数学