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1、线段的中垂线和 角平分线角平分线性质角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上 ，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E求证： PD=PE在角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。 ABOPDE1 2C定理： 证明: 1=2 , OP=OPPDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PD=PE (全等三角形的对应 边相等) 定理的题设和结论分别是什么 ？在一个角的内部，且 到角的两 边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E ，PD=PE. 求证：点P在AOB的平分线上OE BADP反过来：证明: 在R
2、tODP和 RtOEP中,ODP=OEP=90OP=OP, PD=PERtOPDRtOPE (HL)已知：MNAB于C，AC=BC，点P在MN上。 求证：PA=PB 证明：MNAB（已知） PCA=PCB（垂直定义） 在PCA和PCB中： AC=CB（已知）PCA=PCB（已证）PC=PC（公共边）PCAPCB（SAS） PA=PB（全等三角形的对应边相等）pABNMC线段的垂直平分线(中垂线)特征 线段的垂直平分线上的一点到这条 线段的两个端点的距离相等反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上角的平分线ODEABPC定理1 在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。定理2 到一
3、个角的两边的距 离相等的点，在这个角的平分 线上。角的平分线是到角的两边 距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等。逆定理 和一条线段两个端点距 离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和 线段两端点距离相等的所有点的 集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线1.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若A=50，则 EBC=_。 2.已知：如图，B、C、 D 、 E都在边BC上，FD、 EG分别是AB、AC的中垂线。 1）若BC=10， 三角形ADE的周长 . 2）若
4、BAC=100，DAE的度数 。CFDEBA GABCED填空:证明：过证明：过E E作作EFADEFAD于于E E DEDE平分平分ADCADC，ECDCECDC， EFFDEFFD CE=EFCE=EF 又又CE=BFCE=BF EF=BEEF=BE，而，而EFAFEFAF，BEABBEAB EE在在DABDAB的平分线上的平分线上 即即AEAE平分平分DABDAB例例1 1、如图所示，、如图所示，ABABCDCD，B=90B=90 ，E E是是BCBC的中点，的中点，DEDE平分平分ADCADC， 求证：求证：AEAE平分平分DABDAB。例例2 2、还记得在全等三角形、还记得在全等三角
5、形 中证明的一个习题吗？如中证明的一个习题吗？如 图所示，已知：在图所示，已知：在 ABCABC 中，分别以中，分别以ACAC、BCBC为边为边 ，向外作正，向外作正 ACDACD、正、正 BCEBCE，BDBD与与AEAE相交于相交于MM ，求证：，求证：AE=BDAE=BD。这是在全等三角形中一道常见这是在全等三角形中一道常见 的习题，你知道吗，在这个的习题，你知道吗，在这个 结论的基础上还能证明结论的基础上还能证明MCMC 平分平分DMEDME，请你试一试，请你试一试. .例例3 3、角平分线上的点到角的两边、角平分线上的点到角的两边 距离相等，到角的两边的距离相距离相等，到角的两边的距
6、离相 等的点在角的平分线上等的点在角的平分线上” ”。如图所。如图所 示：示：若若BAD=BAD=CADCAD，且，且 BDBDABAB于于B B，DCDCACAC于于C C，则，则 BD=CDBD=CD，若若BDBDABAB于于B B， DCDCACAC于于C C，且，且BD=CDBD=CD，则，则 BAD=BAD=CADCAD试利用上述知识试利用上述知识 ，解决下面的问题：三条公路两，解决下面的问题：三条公路两 两相交于两相交于AA、B B、C C三点，现计划三点，现计划 修建一个商品超市，要求这个超修建一个商品超市，要求这个超 市到三条公路距离相等，问可供市到三条公路距离相等，问可供 选
7、择的地方有多少处？你能在图选择的地方有多少处？你能在图 中找出来吗？中找出来吗？ 解：如图所示，（解：如图所示，（1 1） 作出作出 ABCABC两内角的平两内角的平 分线，其交点为分线，其交点为P P； （2 2）分别作出）分别作出 ABC ABC 两外角平分线，其交点两外角平分线，其交点 分别为分别为DD，E E，F F 故满足条件的修建点有故满足条件的修建点有 四处，即四处，即P P，DD，E E，F F 。三角形的角平分线的性质应用三角形的角平分线的性质应用练习:1、如图,已知:AD是ABC的角平分 线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F 求证：AD垂直平分EF2、如图 ,在ABC中，AD平分BAC ，DEAC，交AB于E，EFAD，交BC 的延长线于F。求证：FAC=B4如图ABC中，B60，ABC的 角平分线AD、CE相交于O， 求证：AECDAC。E解法欣赏:已知：如图， 1=2，P为BN上一点，且 PDBC于D，AB+BC=2BD求证：BAP+BCP=180BAPDCN1 2M方法总结：（1） 有角的平分线（或 证明是角的平分线 ）时，过角平分线 上的点向两边作垂 线段，在利用角平 分线的判定或性质 证题则问题往往迅 速得解；（2）有 线段的和差关系时 ，常用截长补短法 作辅助线化和差关 系为相等关系。优山美诗 http:/ 优山美诗 ebzgrwoe
