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1、1第一章 随机事件及其概率l随机事件及其运算l频率与概率l等可能概型(古典概型)与几何概型l条件概率 l事件的独立性 21.1 随机事件 一、随机试验（简称“试验”） 随机试验的特点 (1)试验可以在相同条件下大量重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知 道试验所有可能的结果； (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果， 但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现 又有一定的统计规律性。 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。 3E1：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出 现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受
2、到的点击次数； E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地 面上的位置； E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿 命。随机试验的例子随机试验4二、样本空间1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果 组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为 S或；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样 本空间的元素）称为一个样本点。试给出E1E5的样本空间5三、随机事件例1.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得 点数，则所有可能出现的结果即该试验的 样本空间是：6其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出 现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴
3、趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是S的子集。类似地，B=(1,1),(2,2),(6,6)，B也是S的子集。71、随机事件随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件 为 基本事件(或简单事件)。 2、两个特殊事件必然事件S S包含所有的
4、样本点，是S自身的子集， 每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件 空集不包含任何样本点，它是S的子 集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。 8例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意 地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑 球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j 号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件 A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球； B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球； C=(1,2),(2,1)=两次
5、都摸得白球； D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑 球； G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。 设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件五、事件的关系与运算91.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”， 即A中的样本点一定属于B，记为AB， 也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。102.2.和事件和事件：“ “事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生” ”，记作，记作AB2 n个事件A1, A2, An 的和事件： n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作2” 可列个事件A1, A2, An 的和事件： 可列个事件A
6、1, A2, An 至少有一个发生，记作113.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB3 n个事件A1, A2, An 的积： n 个事件A1, A2, An同时发生， 记作3” 可数（列）个事件A1, A2, An , 的积：可数（列）个事件A1, A2, An , 同时发生记作124.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生， 它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。135.互斥的事件：AB= ,指事件A与B不能同时发生。又 称A与B互不相容。基本事件是两两互不相容的146. 互逆的事件 AB S, 且A B A与B对立：事件A与B既不能同 时发生，又不能同时 不发生
7、。即在每次试 验中，A与B有且仅 有一个发生。15对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。167.完备事件组设A1,A2,An是有限个或可数个事件，若 A1,A2,An 满足如下两个条件： （1）A1A2An =S， （2） A1,A2,An两两互不相容 则称事件组A1,A2,An 为一个完备事件组。在每次试验中，事件A1,A2,An 必有且仅 有一个发生。17五、事件的运算规律1、交换律：ABBA，A BB A 2、结合律：(AB)CA(BC)， (A B) CA (B C) 3、分配律(AB) C(A C)(B C)，(A B)C(AC) (BC) 4、对偶(De Morga
8、n)律： 18例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B 、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运 算关系表示下列事件：19例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立 事件。解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件 “乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产 品滞销，且乙种产品畅销”表示为：因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销 或乙种产品滞销”。 20作业 习题1-1 (Page 6)l4. (1)(2) l8.211.2 随机事件的概率l一、频率及其性质 定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。 若随机事件A在这n次试验中发生了rn(A)次
9、 ,则比值称为事件A在这n次试验中发生的频率， 记作fn(A)，即fn(A)=22频率具有如下的性质(1)对任一事件A，0 fn(A) 1；(2)对必然事件S，fn(S)1；而 fn( )=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB， 则 fn(AB) fn(A) fn(B)。一般地，若事件A1， A2 ， An两两互不相容， 则23事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生 得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。 历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔 逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反 面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Mo
10、rgan 2048 1061 0.5181Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.500524实践证明：当试验次数n增大时， 随机事件A 的频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。这是随 机现象固有的性质，即频率的稳定性，也 就是我们所说的随机现象的统计规律性。25设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个 事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合 函数P(A)具有如下性质： 非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ； 完备性（规范性）：P(S)=1； 可列可加性：若A1，
11、A2，An，是两两互不相 容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)+ 则称P(A)为事件A的概率。二、概率1、概率的公理化定义262、概率的性质 不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有有限可加性有限可加性，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有 P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)， 且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性单调不减性。27互补性互补性 对任一
12、事件A，有加法公式加法公式 对任意两个事件A，B，有P(AB)=P(A)+P(B) - P(AB) 可推广可分性可分性 对任意两事件A，B，有28例1.5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为 0.6 ，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天都不下雨”的概率P(G)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。 解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1
13、(1)且可得29（2）（3）=0.6+0.3-0.1=0.8（4）（5）30作业 习题1-2 (Page 11)l1,3,4311.3 等可能概型（古典概型）与几何概型一、古典概型的定义设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点（即只有有限个可能的结果），即Se1, e 2 , , e n ;2.等可能性：每个样本点（或结果）的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=P(en)。则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。32设事件A中所含样本点个数为N(A)=k ，以N(S)=n记样 本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1) 0 P(A) 1；(2) P(
14、S)1； P( )=0；(3) AB，则P( AB )P(A)P(B)。二、古典概型中的概率：33解 设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩， T表示某个孩子是女孩。S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTA=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT例1.6 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一 个男孩的概率是多少?34例1.7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2 ，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的 概率。解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)， 则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件
15、 总数n=10。 又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k=5个样本点，故 35乘法原理设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第 二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法三、计算古典概率的方法：排列与组合36加法原理设完成一件事可有两种途径，第一种途径有 n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成 这件事共有n1+n2种方法。37有重复排列(有放回的抽取）从含有n个元素的集合中随机抽取k次， 每次取一个，记录其结果后放回，将记录结 果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.38无重复排列（不放回抽取）从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一 个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)
