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1、第六节 椭圆三年26考 高考指数:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现.1.椭圆的定义（1）满足条件：在平面内与两个定点F1、F2的距离之_等于常数常数大于_（2）焦点：两定点.（3）焦距：两_间的距离.和|F1F2|焦点【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆（
2、请在括号内填“是”或“否”）（1）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于2的点的轨迹 ( )（2）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于4的点的轨迹 ( )（3）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于6的点的轨迹 ( )【解析】由椭圆的定义可知:（1）距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；（2）距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；（3）符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆.答案：（1）否 （2）否 （3）是2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程xyoB2A1A2B1F1F2ba c对称轴：坐标轴 对称中心：原点长轴
3、A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b图形性 质范围对称性顶点轴（ab0）（ab0）-a x a-b y b-b x b-a y aA1(-a，0)B1(0，-b)A2（a，0）B2（0，b）A1(0，- a)A2（0，a）B1(-b，0) B2（b，0）xyoA2B1B2A1F1F2bca图形性 质焦距离心率a、b、c 的关系xyo B2A1A2B1F1F2ba cxyoA2B1B2A1F1F2bca【即时应用】（1）思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?提示：因为离心率e= = = ，所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，
4、a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.（2）已知椭圆 + =1的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为 ，则m的值为_.【解析】 + =1的焦点在y轴上，所以a2=m,b2=2，离心率为e= = = ，又离心率为 ，所以= ，解得m= .答案： （3）已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为_.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 ，所以 = 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案：9或1椭圆的定义、标准方程【方法点睛】1.椭圆定义的应
5、用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+ =1(ab0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为 + =1(ab0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 + =1(m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.【例1】（1）已知F1、F2为椭圆 + =1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，
6、则|AB|=_；（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解题指南】（1）注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；（2）可先设椭圆的方程为 + =1或 + =1(ab0)，再根据题设条件求出相应的系数值即可.【规范解答】（1）由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,又已知|F2A|+|F2B|=12，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.答案：8（2）设椭圆方程为
7、+ =1或 + =1(ab0)，因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以（2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：+ =1或 + =1.【互动探究】本例（2）将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为 + =1或 + =1；当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34，所以c2= ，又因为a=4，所以b2=a2-c2= ，所以椭圆
8、方程为： + =1或 + =1；综上可知：所求椭圆方程为： + =1或 + =1或+ =1或 + =1.【反思感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解；2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： + =1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 .若PF1F2的面积为9，则b=_.
9、【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2, = =b2=9,b=3.答案：3椭圆的几何性质及应用【方法点睛】1.椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式（或不等式
10、），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【提醒】椭圆离心率的范围:0b0)为动点，F1,F2分别为椭圆 + =1的左,右焦点已知F1PF2为等腰三角形（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足 =-2，求点M的轨迹方程【解题指南】（1）可由F1PF2为等腰三角形，得出a、b、c之间的关系式，消去b，即得离心率的值；（2）可用直接法求出轨迹方程.【规范解答】（1）设F1(-c,0),F2(c,0)(c0)，由题意，可得|PF2|=|F1F2|,即 =2c.整理得2( )2+ -1=0，得 =-1（舍），或 = .所以 e=
11、.（2）由（1）知：a=2c,b= ，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2方程为y= (x-c).A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2= c.得方程组的解 , 不妨设M(x,y)，令A( c, c),B(0, ),则 =（x- c,y- c), =(x,y+ c),由y= (x-c),得c=x- y.于是=（ - , - ),=(x, x).由 =-2，即（ - ）x+（ - ) x=-2,化简得18x2- -15=0.将y= 代入c= ,得c= 0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2- -15=0(x0).【反思感悟】1.依据题
12、设条件求椭圆的离心率，其关键是依据题设条件寻找关于a、c的一个等式，解方程求出离心率的值；有些题目求离心率的范围，解题思路也是如此；2.求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求方程，但要注意同解变形，注意变量的取值.【变式训练】定义：离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，已知E： + =1（ab0）的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( )(A)既不充分也不必要条件(B)充分且必要条件(C)充分不必要条件(D)必要不充分条件 【解析】选B.若E为黄金椭圆，则e= = ,b2=a2-c2=a2- = =ac所以a,b,c成等比数列.若a、b、
13、c成等比数列，则b2=ac a2-c2=ac e2+e-1=0，又0b0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.【解析】依题设知：点C的坐标为( , )，又因为点C在椭圆E上，所以有 + =1，解得a2=9b2，因此，a2=9(a2-c2)，即 = ，所以椭圆E的离心率等于 .答案： 直线与椭圆的位置关系【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤第一步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程；第三步：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.2.直线被椭圆截得的弦长公式设
14、直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B（x2，y2）,则|AB|= = (k为直线斜率).3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.涉及问题问题处处理方法弦长长根与系数的关系、弦长长公式中点弦或弦的中点点差法【例3】（2011北京高考）已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.【解题指南】（1）根据标准方程可求出焦点坐标和离心率；（2）先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.【规范解答】（1）由已知得a=2,b=1，所以c= = ，所以椭圆G的焦点坐标为(- ,0),( ,0)，离心率为
