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1、 重庆大学高等数学（建筑）课程试卷 第 1 页 共 5 页重庆大学 2014 版试卷标准格式重庆大学重庆大学高等数学（建筑）高等数学（建筑）课程试卷课程试卷 A A卷卷B B卷卷2014 2015 学年学年 第第 1 学期学期开课学院：开课学院： 数统学院数统学院 课程号课程号：10MATH04 考试日期：考试日期： 2015.1 考考试试方方式式：开开卷卷闭闭卷卷 其其他他考试时间：考试时间： 120 分钟分钟题题 号号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总总 分分得得 分分一、填空题（一、填空题（3*5=153*5=15 分）分）1. 2 sin0lim(1 3 )_. xxx答案：.
2、6e2.2. 2arctan_.1xdxx答案：答案：.21(arctan )2xC3.3. 设则 (0)0,(0)1,ff20(1 cos )lim_.sin xfx x答案：.21解: 当时,且,故0x0cos1x2 21cos1xx22sinxx20sin)cos1 (lim xxfx 20sincos1 cos1)0()cos1 (lim xx xfxfx.21)0(2121limcos1)0()cos1 (lim2200 f xxxfxfxx4.21cos 20lim_.xxxedxx答案： .1 2e解：221 cos cos 200sin1limlim.22xx xxxedxex
3、 xxe5. 曲线在点的曲率为 sinyx02, _.答案： 1解：sincos ,sinyxyx yx 令，；代入曲率公式,得 3 221yky =1.k二、选择题（3*5=15 分）1. 当时,下面与x等价的无穷小量是( B ).0x命题人： 组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制学院学院 专业、班专业、班 年级年级 学号学号 姓名姓名 考试教室考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊考试作弊,留校察看留校察看,毕业当年不授学位毕业当年不授学位;请人代考、替他请人
4、代考、替他 人考试、两次及以上作弊等人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊属严重作弊,开除学籍开除学籍.重庆大学高等数学（建筑）课程试卷 第 1 页 共 5 页重庆大学 2014 版试卷标准格式(A) (B) (C) (D)1;xe1ln;1 x x11;x2(1 cos).x2. 定积分的值为( D ).2221 cos xdx(A) (B) (C) (D) 0;2;1;2.3. 设函数在内有定义,若时,则必)(xf) , () , (x2( ),f xx0x是的( C ). )(xf（A）间断点; （B）连续而不可导点;（C）可导的点,且 （D）可导的点,且(0)0;f(0)0.f答案：（C
5、）.解：因为当时,从而有,即有) , (x2)( xxf00 )0( 2f.于是0)0(f故只能选2000( )(0)( )( )(0)l i ml i ml i m0, xxxf xff xf xfxxxx（C）.4. 方程在内实根的个数为(C).310xxe (,) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3答案: (C).解：令, 当时,当( )31,( )3(1)xxf xxefxx e1x ( )0fx时; x=-1 是f(x)的唯一最小值点.最小值1x ( )0fx. 故应选 C.1( 1)310fe 5. 已知则( D ).()1, xfex)(xf（A） （B） Cx ln1
6、Cxx2 21（C） （D）Cxx2ln21lnCxxln答案：（D）解：令 .,ln ,( )1lnxet xt ftx=+( )( )(1ln )lnlnlnf xfx dxx dxxxdxxxxdxxxc=+=+=+-=+故选（D）三、计算题（5*4=20 分）1. 计算 21limtan,.其中为自然数 nnnnn解：因为(2 分)32+tan 1 tan00tantanlimlim1,x x xx x xxxxxxx xx其中（2 分） +22322000tansec1tan1limlimlim,333xxxxxxx xxx则故（1 分）2+11 30tanlim,xxxex21 3
7、1limtan.nnnen2. 计算 1.1 sincosdxxx重庆大学高等数学（建筑）课程试卷 第 1 页 共 5 页重庆大学 2014 版试卷标准格式解解 1 作代换 （1 分）故2222212tan,cos,2111得si nxuuduuxxdxuuu原式（2 分）222212 211111du uuu uu（1 分）1 ln 1 du u uC（1 分） ln |1tan|.2xC解解 2原式= 22sincos2cos222dx xxx(1tan)2ln |1tan|.21tan2 xdxCx3. 设在上有连续的导数,且计( )f x , a b( )( )0,f af b2( )
8、1,bafx dx算.( )( )baxf x fx dx解：( )( )baxf x fx dx（2 分）21( )2baxdfx（2 分）2211( )( )22b ba axfxfx dx1012（1 分）1.2 4. 已知计算0sin,2xdx x2 0sin().xdxx解：2 0sin()xdxx（2 分）2 01sin()xdx（2 分）2sin 00sin2 x xxdxx（1 分）20sin.2x ttdt t 四、解答题（6*4=24 分）1. 设 求的值.31( )3arccosarccos(34),2f xxxxx( )f x解： 当时,1 1,2 2x （3 分）22
9、232222233 1233(14)( )0. 11 (34)11(14)xxfx xxxxxx 故内恒为常数,. （1 分）1 1,2 2( )f x( )(0)2arccos0f xf当时1 2x 11113arccosarccos1,3arccosarccos( 1)2222ff（1 分）故（1 分）1( ),.2f xx2 2.设由所围成部分绕 轴旋转而成0,2 tsin ,2 ,0yx xt xt yx的旋转体的体积为 问 为何值时，最大？( ).V tt( )V t解： （2 分）2t2tV(t) = sin xdx =(2t - sin4t + sin2t).4重庆大学高等数学（
10、建筑）课程试卷 第 1 页 共 5 页重庆大学 2014 版试卷标准格式（1 分）)2cos22cos86(4)2cos24cos42(4)(2tttttV令=0，得 .（1 分）)(tV24cos 2cos230tt解得于是故（1 分）,432cost,41cos22t42arccost所以当时，V 最大. （1 分）42arccost另解另解：，22( )sinttV txdx令2222( )(2sin 2sin)sin(8cos1)0V ttttt得（不符合题意）28cos10t 42arccost0t 3已知与在(0,0)处切线相同，求此切线，并( )yf x2arctan 0xtye
11、 dt求极限2lim( ). nnfn 解：在处切线方程为在( )yf x(0,0)(0)(0) ,yffx2arctan 0xtye dt处切线方程为（2 分）由与在(0,0)处切(0,0).yx( )yf x2arctan 0xtye dt线相同，得（2 分）所以切线方程为(0)0,(0)1,ff,yx（2 分）2( )(0)2lim( )2lim2(0)2.2 nnffnnffn n4. 设函数由参数方程（其中）所确定,)(xyy 1sin222yaytttx10 a求22.d y dx解：; （1 分）) 1(2222)(2tttttx方程两边同时对 求导,得1sin2yaytt,（1
12、 分）0)(cos)(2tyyatyt解之得 ,（1 分）所以yattycos12)(,（1 分）)cos1)(1() 1(2cos12)()( dd yatt tyattxty xy 而 22)cos1 () 1()(sin) 1(cos1 )cos1)(1( dd ddyattyyatyatyat xy t ,3222)cos1 () 1(sin) 1(2)cos(1 yatytatya故.（2 分）)(dd dddd 22txxy txy 3322)cos1 () 1(2sin) 1(2)cos(1 yatytatya五、证明题（2*8=16 分）1. 设函数在区间上连续,且单调增加,证)(),(xgxf ba.)(xf10 )(xg明：（1）; baxaxdttgxa,)( 0（2） badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(解：（1）证明：因为,所以10 )(xg baxdtdttgdxxaxaxa,)( 10即（2 分） baxaxdttgxa,)( 0重庆大学高等数学（建筑）课程试卷 第 1 页 共 5 页重庆大学 2014 版试卷标准格式（2）令,（1 分） xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(则可知, 且,（1 分）0 )(aF
