8-3开腔模式和衍射理论分析方法

《8-3开腔模式和衍射理论分析方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8-3开腔模式和衍射理论分析方法（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2.3 开腔模式和衍射理论分析方法Q：在一个没有侧面边界的区域中，是否存在 着电磁场的本征态，即不随时间变化的稳态 场分布？如果存在，应该如何求出这些场分 布？ 更关心镜面上的场。激光输出直接与镜面上的 场相联系。镜面上稳态场分布的形成可以看 成是光在两个镜面间往返传播的结果。因此 ，两个镜面上的场必然是互相关联的：一个 镜面上的场可以视为另一个镜面上的场所产 生，反之亦然。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法He-Ne激光器基模Nd:YAG激光器多模第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法一、激光的横模 反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且 在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方 面，衍射

2、将起主要作用 非选择性损耗将使横截面内各点的场按同 样的比例衰减，对场的空间分布不会发生 重要影响 衍射主要发生在镜的边缘上，将对场的空 间分布发生重要影响；而且，只要镜的横 向尺寸是有限的，这种影响将永远存在。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 为突出特征、简化分析，提出理想的开腔 模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限 的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连 续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所 构成。 考虑在开腔中往返传播的一列波第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平 面开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应 ）。这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径 构

3、成，这些孔径开在平行放置着的无限大 完全吸收屏上，相邻两个孔径的距离等于 腔长，孔径大小等于镜的大小。 光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等 效于光在开腔中从一个反射镜面传播到另 一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生 衍射，射到孔的范围以外的光将被屏所吸 收（对应于损耗）。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 每经过一个孔，波的振幅和相位分布就经历 一次改变；在经过若干个孔以后，其振幅和 相位不可避免地逐次发生畸变，逐渐被改变 成这样的形状，以致于它们受到衍射的影响 越来越小，或者说，它们逐渐趋于一定的稳 定分布状态。当通过的孔阑数足够多时，镜 面上场的相对振幅和相位分布将不再发生变 化，

4、或者说不再受衍射的影响，在腔内往返 一次能够“再现”出发时的场分布。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 把开腔镜面上经一次往返能再现的稳态场分布 称为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往 返所经受的能量损耗称为模的往返损耗，所发 生的相移称为往返相移，该相移等于2的整数 倍。 并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在 ，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳 定下来（特点1：非任意性） 由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布 可能是各不相同的，这预示了开腔模式的多样 性。实际的物理过程是，开腔中的任何振荡都 是从某种偶然的自发辐射开始的，而自发辐射 服从统计规律，因而可以提供各种不同的

5、初始 分布。（特点2：多样性）第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法孔阑传输线幅度、相位空间相干性的衍化1.初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2.不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个 孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效 应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第 一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这 样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一 定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光 束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因 而空间相干性随之越来越增强。在开腔中， 从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好

6、的激光，正是由于衍射的作用。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的 空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随 着初始入射波能量的衰减。 在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值 条件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。 这时，自再现模的形成过程将伴随着光的受 激放大，其结果是：光谱不断变窄，空间相 干性不断增强，同时，光强也不断增大，最 终形成高强度的激光输出。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 取激光器的轴向作为z轴，以谐振腔的中 心点为原点，并在与主轴垂直的平面上 取x、y轴，用TEMmn符号来表示各种横 向模式。 m、n分别代表在横截面内的x 、

7、y轴方向出现的节线数，或，光强为零 的那些零点的序数。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 纵模和横模各自从一个侧面反映了谐振腔内 能自再现的光场分布。腔内光波往返传播时 ，干涉和衍射效应同时存在。 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而 且沿纵向形成驻波。用三个正整数m、n、q 来标志， TEMmnq 。一种模式的振荡频率不 仅与纵模序数q有关，而且与横模序数m、n 也有关。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 研究表明：一方面，人们从理论上论证了 开腔模的存在，并且用数值和解析的方法 求出了各种开腔模式；另外，又从实验上 观测到了激光的各种稳定的强度花样，而 且理论分析与实验观测的

8、结果符合得很好 。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法自再现模概念 起因：由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用 的同时，还会引起光波的衍射效应 ，引起反射回来的光 束的强度减弱. 特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。 特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。 这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点 的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小 的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自 再现模。 第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法二、衍射理论

9、的分析方法求解开腔模式，归结为求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分；公式表明：如 果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以 求出该光波场在空间其它任意位置处的振幅和相位分布。意义：观察点P处的场可以看作是S面上各子波源所发出的非均匀球面子波的叠加图3-1 惠更斯-菲涅耳原理式中 为源点 与观察点 之间的距离； 为 源点 P 处的波面法线 与 的夹角； 为光波矢的大小， 为光波长； 为源点 处 的面元。 S曲面上光场分布函数各子波源发 出的球面波倾斜因子第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法菲涅耳基尔霍夫积分 已知某一镜面上的场分布 ，在衍射作用下经腔内一 次渡越而在另一个镜面上

10、生成的场就将一个镜面上的场通过菲涅耳基尔霍夫积分与另一个镜 面上的场联系起来。经过j次渡越后所生成的场uj+1与产生它的 场uj之间亦应满足类似的迭代关系图3-2 镜面上场分布的计算示意图第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法1、考虑对称开腔中的自再现模。按照模式再现 概念，当式中的j足够大时，除了一个表示振幅 衰减和相位移动的常数因子以外， uj+1应能将uj 再现出来，即当j足够大时此即模式再现概 念的数学表达为与坐标无关的复常数，表示自再现模 在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法自再现模方程第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 以v(x,y)表

11、示开腔中这一不受衍射影响的稳 态场分布函数（即uj 、uj+1、），有满足方程的任意一个分布函数v(x,y)就描述腔的一个 自再现模或横模。一般地， v(x,y)应为复函数，它的 模v(x,y) 描述镜面上场的振幅分布，而其辐角 arg v(x,y) 描述镜面上场的相位分布。积分方程 的核(Kernel)第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法本征函数本征值适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法1.本征函数形式镜面上振幅分布镜面上场的相位分布镜面上场分布函数 (本征函数 横模)自再现模积分方程的解的物理意义对应于本征值 mn第二章-3 开腔

12、模式和衍射理论分析 方法2.本征值复常数的意义将复常数表示为 ，代入的定义，得到e-量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减 (the loss in mode amplitude per round trip)，愈 大,衰减愈甚， 0时，自再现模在腔内能无 损耗地传播。表示每经一次渡越模的相位滞 后(the phase shift per round trip)， 愈大，相位 滞后愈多。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法自再现模在腔内经单程渡越的 总相移定义为在对称开腔的情况下，自再现模在腔内经单程 渡越所经受的相对功率 损耗称为模的单程损耗 ，通常以d表示。在对 称开腔情况下,量度自再现

13、模的单程损耗, 不同横模有不同的和dd ， 模的单程损耗3. 单程相移 dmn 自再现模在腔内渡越一次的总相移几何相移 附加相移，与模式有关第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 在腔内存在激活物质的情况下，为了使自再 现模在往返传播过程中能形成稳定振荡，还 必须满足多光束干涉条件：在腔内一次往返 的总相移等于2的整数倍(the phase delay per round trip be some integer of 2)，即 复常数的模量度自再现模的单程损耗，它的 辐角量度自再现模的单程相移，从而也决定 模的谐振频率。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法谐振条件、驻波和激光纵模 光波

14、在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。 谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法纵模频率间隔 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔图(3-4) 腔中允许的纵模数 激光器的输出频率必须满足三个条件： 谐振值满足谐振条件。 谐振值必须在激光工作物质的光谱线宽范围内 增益吸收有一定的阈值。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法 2、在非对称开腔中，按场在腔内往返一 次写出模式再现条件及相应的积分方程。 其中的复常数的模量度自再现模在腔 内往返一次的功率损耗，它的辐角

15、量度 自再现模的往返相移，并从而决定模的 谐振频率。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法求解思路 将寻求开腔振荡模的问题归结为求解菲涅耳基尔 霍夫衍射积分方程这样一个数学问题（积分本征值问 题） 根据各类开腔的具体几何结构，写出方程的具体形 式，根据问题的对称性引入适当的坐标系 考虑到波长、镜的线度以及腔长的相互数量级关系 ，将方程简化（将积分核展开，舍去无关紧要的高阶小量 ） 对常见的几何结构，实现变量分离，将关于二元函 数的积分方程化成两个单元函数的积分方程 求出积分方程的本征值(m、n)与本征函数(vm(x) 、 vn(y) )，得到开腔自再现模的全部特征（包括 场分布及传输特性）第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法一般地， vmn(x,y)应为复函数，它的模 vmn(x,y)描述镜面上场的振幅分布，而其辐角 arg vmn(x,y) 描述镜面上场的相位分布。复常数mn的模量度自再现模的单程损耗，它的 辐角量度自再现模的单程相移，从而也决定模 的谐振频率。第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法深圳大学电子科学与技术学院 求 对称共焦腔镜面场分布（本征函数）单程渡越因子（本征值） （了解）角向长椭球函数近似解：厄米高斯近似当x a ，y a的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，下式 近似成立近似解:角向长椭球函数 厄米多项式和高斯函数乘积厄米多项式第二章-3 开腔模式