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1、用特征值与特征向量探究人口流动问题人口流动问题1目录引言引言.2特征值及特征向量理论特征值及特征向量理论.2（1）定义：.2（2）特征值与特征向量的基本性质.4（3）举例：.5人口流动问题人口流动问题.61.问题背景：.62.提出问题.7解决问题解决问题.7C 语言程序语言程序.8设计思路.8程序代码.9程序运行结果.9结果分析结果分析.9实际意义实际意义.10小结小结.10参考文献参考文献.10致谢致谢.11人口流动问题2引言引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基 下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特 征向量在线性变换中起着
2、举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题 与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁 为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些实际问题中的应用作了初步的探 讨。特征值及特征向量理论特征值及特征向量理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变化
3、的研究具有基本的重要性（ （1）定）定义义： ：定义 1.1 设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非APnP零维列向量,使得nnxPAxx则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量AxA现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空VPn间, 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设12,n /AA是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是. 则012,n nxxx00201,由, 这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组Axx01020,nxxx .,02211202222121101212111nnnnnnnnnnxxaxaxaxxaxaxaxxa
4、xaxa人口流动问题3即 . 0, 0, 0022112222012112121110nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1.1)由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非0nxxx00201,零解. 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即00212220211121100nnnnnnaaaaaaaaaAE我们引入以下定义.定义 1.2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列APnAE 式，nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.AP上面的分析说
5、明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵的0/A0A特征多项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一0AP个根, 即, 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果00EA是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量01020,nxxx.01 10220nnxxx满足（1.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一0/A0个特征向量因此, 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：/A人口流动问题41、在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵;V12,n /AA2、求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变AE
6、AP换的全部特征值;/A3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值12,n 的全部线性无关的特征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组AA（1.1）式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量A（ （2）特征）特征值值与特征向量的基本性与特征向量的基本性质质性质 1 设为阶方阵, 为的个特征值, An12,n An则nA21性质 2 方阵可逆的个特征值都不为零AAn性质 3 设为方阵的特征值, 为的多项式
7、, 则 为的A AA A特征值性质 4 不为方阵的特征值A0AE性质 5 设阶方阵的个特征值为, 且为对应的nAn12,n 12,np pp个线性无关的特征向量, 记, 则n12,nPp pp.nAPP211性质 6 设为阶实对称阵, 是它的个特征值, 则Ann(1) 当且仅当都大于零时, 正定；12,n A(2) 当且仅当都小于零时, 负定； 12,n A人口流动问题5(3) 当且仅当都非负, 但至少一个等于零时, 是半正定；12,n A(4) 当且仅当都非正, 但至少一个等于零时, 是半负定；12,n A(5) 当且仅当中既有正数, 有又负数时, 是不定的。12,n A（ （3） ）举举例
8、：例：设线性变换在基，下的矩阵是/A123122 212 221A， 求的特征值与特征向量/A解 因为特征多项式为 2122 21215 221EA ,所以特征值-1（二重）和 5把特征值-1 代入齐次方程组 12312312312202120221 20xxxxxxxxx 得到123123123222022202220xxxxxxxxx 它的基础解系是，1 0 1 0 1 1 因此，属于-1 的两个线性无关的特征向量就是，113223人口流动问题6而属于1 的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全1122kk1k2kP部数对. 再用特征值 5 代入, 得到1231231234220 242
9、0 2240xxx xxx xxx ，它的基础解系是1 1 1 因此, 属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 ，3123而属于 5 的全部特征向量就是, 是数域中任意不等于零的数3kkP人口流动问题人口流动问题1.问题问题背景：背景：一方面农民进城为了生计，因为现在农村里想要致富光靠种田，没有科技含 量的那种，那是不可能的，而且，现在每家每户的田地也不多，产量不高，价 格也不好，一大家子人，上有老，下有小，需要养活。生活开销方面，种田需 要肥料，生病了需要看医生，等等都需要用钱。没有收入，所以，扛着肩上的 “担子”来到了城市，希望能够为家里创造更好的条件。 另一方面现在城市老人有很多属于空巢老人，还有很多老人处于孤单的生 活生态，甚至有一部分老人患有严重精神方面的疾病，大部分老人患有各种疾 病，这些问题都是体现在生活、环境等综合方面，生活的品质在大大的下降， 其实城市老人为了国家的繁荣付出毕生的精力，做出了很大的贡献，社会应该 感谢他们，但是现在社会中，很多年轻人的子女，都忙
