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1、第9讲 协方差分析与混合线 性模型理学院 汪晓银 教授华中农业大学数学建模创新实践基地课件如果在单因素、双因素或多因素试验 中有无法控制的因素x影响试验的结果Y， 且x可以测量、x与Y之间又有显著的线性 回归时，常常利用线性回归来矫正Y的观 测值、消去x的差异对Y的影响。例如，研究施肥对苹果树产量的影响 ，由于苹果树的长势不齐，必须消去长势 对产量的影响。又如，研究饲料对动物增 重的影响，由于动物的初重不同，必须消 去初重对增重的影响。协方差分析这种不是在试验中控制某个因素， 而是在试验后对该因素的影响进行估计 ，并对试验指标的值作出调整的方法称 为统计控制，可以作为试验控制的辅助 手段。以统
2、计控制为目的，综合线性回 归分析与方差分析所得到的统计分析方 法，称为协方差分析，所需要统计控制 的一个或多个因素，例如苹果树的长势 ，又如动物的初重等等称为协变量。1 协方差分析思想原理2 单因素协方差分析-理论2 单因素协方差分析-理论2 单因素协方差分析-理论2 单因素协方差分析-理论2 单因素协方差分析-计算data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8;input x y ;output ;end;end;cards;47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59
3、62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66;proc glm;class a;model y=x a/solution;lsmeans a/stderr pdiff;run;2 单因素协方差分析-计算2 单因素协方差分析-计算施用三种肥料的产量矫正后有极显 著的差异 2 单因素协方差分析-计算3双因素协方差分析-不考虑交互作用方差来源平方和自由度 均方和 F值 显著性A QA r-1 MQA FAB QB s-1 MQB FB误差 QErs-r-s MQE总和 QT rs-23双因素协方差分析-不考虑
4、交互作用data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ; input x y ;output; end; end; cards; 8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.88 10 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.06 12 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89 ; proc glm;class a b ;model y=x a b/solution; lsmeans a b/stderr pdiff;run;3双因素协方差分析-不考虑交互作用3双因素协方差分析-不考虑交互作用
5、方差来 源平方和 自由 度均方 和F值 显著 性A0.6046 2 0.3023 2.49 NB7.1245 4 1.7811 14.66 *误差0.8502 7 0.1215总和8.5793 1各小区的产量矫正后没有显著的差异，各品 种的产量矫正后有极显著的差异。3双因素协方差分析-不考虑交互作用方差来 源平方 和自由度 均方和 F值 显著 性A QA r-1 MQA FAB QB s-1 MQB FBAB QAB(r-1)(s-1) MQAB FAB误差 QErs(m-1)-1 MQE总和 QT rsm-24双因素协方差分析-考虑交互作用4双因素协方差分析-考虑交互作用data ex; d
6、o a=1 to 4; do b=1 to 2; do i=1 to 2;input x y;output;end;end;end; cards; 14.6 97.8 12.1 94.2 19.5 11.2 18.8 110.1 1.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 12.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.612.2 122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 16.4 117.2 17.2 117.9 proc glm; class a b;model y=x a b a*b/solution;lsmeans a b
7、/stderr pdiff; run;4双因素协方差分析-考虑交互作用4双因素协方差分析-考虑交互作用方差来源 平方和自由度 均方和F值显著 性A277.43485 392.4782866.51 *B 2.845259 3 2.845259 0.20 NAB 12.848100 1 4.282700 0.30 N误差 99.441171 714.205882A与B的交互作用矫正后不显著，促生长剂 之间的差异极显著，试验批次间的差异不显著 4双因素协方差分析-考虑交互作用3.混合线性模型 通过一个例子讲述混合线性模型的使用艾滋病疗法的评价 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现
8、以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人 体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人 类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用， 当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅 速增加，导致AIDS发作。3.混合线性模型 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效 地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能 力。 迄今为止人类还没有找到能根治A
9、IDS的疗法 ，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用 ，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都 在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。3.混合线性模型 请你完成以下问题： （1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确 定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服 药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治 疗）。 （2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以 CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果， 或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价 格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanos
10、ine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元 ，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种 疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止） 有什么改变。3.混合线性模型ID 疗法 年龄 时间 Log(CD4 count+1) 1236.427103.1355 1236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189 1236.4271403.0445 2447.846703.0681 2447.846783.8
11、918 2447.8467163.9703 2447.8467233.6109 2447.846730.71433.3322 2447.8467393.0910 3160.287503.7377 4336.596904.1190 4336.59697.14294.1109 4336.596916.14294.7095 3.混合线性模型1对4种疗法的疗效评价的分析 对题目所给的附件2的数据进行分析可知，决定病 人的CD4的浓度的因素有年龄，检查的时刻，治疗 方案这三个因素。因此我们将年龄分成5类，检查 的时刻分为4个时间段，治疗方案有4种。而问题是 以CD4的浓度为标准来评价疗效的优劣，即CD4
12、的浓度越大，那么疗效越好。由于考虑题中所给的样 本有6000多个（病人的个数*各个病人检查的次数 ），因此我们考虑用MIXED（混合线性模型）。下面我们就混合线性模型的原理进行说明。3.混合线性模型 混合线性模型过程是拟合许多不同数据的混合线性 模型，并利用所拟合的模型对数据进行统计推断。 首先混合线性模型的主要假设是数据服从正态分布 ，由于本题所给的数据的样本容量有6000多个，因 此，我们可认为它服从正态分布。又由于正态分布 的数据可完全有均值和方差确定，因此一个混合线 性模型是由两个模型决定的。分别是均值模型和方 差模型。MIXED使用约束最大似然的方法来拟合数 据的。一旦数据的模型已经
13、建立，我们可以使用该 模型通过固定效应参数和协方差参数进行统计推断 。用这些统计量可以对模型进行评价。3.混合线性模型 再者，该分析的重要假设是数据是正态分布的，由 于我们将附录2的数据进行了分类。由于数据出现 在类（如可能是同一年龄段中），那可能的情况是 来自同一年龄段的这些CD4的值是相关的，不是独 立的。鉴于此，由于附录2所给的数据是高度数据 （即样本容量很大），那么考虑这种因素是相关。 因此我们对这些因素进行相关性建模，我们使用随 机效用。在本题中，我们规定年龄、检查时刻为随 机效应，即使得具有相同年龄水平或相同检查时刻 的水平之间存在共同的相关性，那么，此模型才较 为合理。3.混合线
14、性模型2 对4种疗法的疗效模型的建立1）数据的处理 a、所有病人的年龄是在14.9021，74.193的区间 内,以（74.193-14.9021）/5=11.85818为区间长度 。我们将患者按照年龄阶段分为5级，分别记作1至 5（如表4所示）； b、我们将患者所接受的治疗方法分为4种，分别记 作1至4； c、我们将病人的检查的时刻0，40以10为区间长 度，分为4级，分别记作1至4 3.混合线性模型3.混合线性模型2）确定固定效应和随机效应 固定效用是设计者所研究的因素，在此题中 为4种疗法。因为病人的年龄是随机的，并且病人接受检验的时刻是也是随机进行的， 故病人的年龄和病人接受检验的治疗
15、时刻应 该为随机效应。3.混合线性模型3）协方差结构的选择 模型中具体选用哪种结构矩阵：在相同模型结构下 ，选择几个不同结构的协方差矩阵，从中选取似然 比统计量（-2Log Likeli-hood）、Akaikes Information Schwartz Bayesian三个指标均较小 的一个，通常以AIC为主要判断指标。依据专业知 识和既往文献，在此模型中选用符合对称结构CS 、不规则结构UN、一阶自回归结构AR(1)、空 间幂相关结构 SP（POW）。3.混合线性模型4）建立混合线性模型的线性模型，如下：3.混合线性模型 data ex;input name a x1 x2 y ; if x126.76 then x1=1;if 26.76=x141.662 then x1=2; if 41.662=x156.56 then x1=3;if 56.56=x171.467 then x1=4; if 71.467=x1 then x1=5;if x210 then x2=1; if 10=x220 then x2=2;if 20=x230 then x2=3;if 30=x2 then x2=4; cards; 1 2 36.4271 0 3.1355 1 2 36.4271 7.5714 3.0445 1 2 3
