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1、1课课 题题：正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理教学目的：教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题奎屯王新敞新疆教学重点：教学重点：正弦定理 教学难点：教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：授课类型：新授课 课时安排：课时安排：1 课时 教教 具具：多媒体、实物投影仪 教学过程教学过程：一、引言：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角奎屯王新敞新疆那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课：二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = =2R（R
2、 为ABC 外接圆半径）Aa sinBb sinCc sin1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 ca cb即 c=， c= ， c= Aa sinBb sinCc sin=Aa sinBb sinCc sin2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC=AbcBacCabsin21sin21sin21两边同除以即得：=abc21 Aa sinBb sinCc sin证明二：（外接圆法）如图所示，RCDDa Aa2sinsin同理 =2R，2RBb sinCc sina bcOBCAD2证明三：（向量法）过 A 作单位向量垂直于jAC由 += ACCB AB
3、 两边同乘以单位向量 得 (+)=jjACCB jAB 则+=jACj CBjAB|cos90+|cos(90C)=| |cos(90A)jACjCB jAB =AcCasinsinAa sinCc sin同理，若过 C 作垂直于得： = =jCB Cc sinBb sinAa sinBb sinCc sin正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时: )( ba) ,( babsinA)( bs
4、inA asin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Ababab ab aba a一 一 一 a,b一 A一 一 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一 一一 一abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CHHH若 A 为直角或钝角时: )( ba锐角一解无解ba3三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 已知在BbaCAcABC和求中，,30,45,1000解：0030,45,10CAc00105)(180CAB由得 Cc Aa sinsin21030sin45sin10 sinsin00 CAca由得Cc Bb sinsin25654262075
5、sin2030sin105sin10 sinsin0 00 CBcb例例 2 2 在CAacBbABC, 1,60, 30和求中，解：21360sin1sinsin,sinsin0 bBcCCc Bb00090,30,60,BCCBCBcb为锐角，222cba例例 3 3 CBbaAcABC, 2,45,60和求中，解：23 245sin6sinsin,sinsin0 aAcCCc Aa0012060,sin或CcaAc，1360sin75sin6 sinsin,756000 00CBcbBC时，当1360sin15sin6 sinsin,1512000 00CBcbBC时，当或0060,75
6、, 13CBb00120,15, 13CBb4例例 4 4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平 分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证 明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三 角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互DBCDC BDCBC ABDAD ABDAB sinsin,sinsin补角正弦值也相等即可证明结论奎屯王新敞新疆证明：在ABD内，利用正弦定理得：ABDADB ADAB ABDA
7、D ADBAB sinsin sinsin即在BCD内，利用正弦定理得：.sinsin,sinsinDBCBDC DCBC DBCDC BDCBC即BD是B的平分线奎屯王新敞新疆ABDDBC sinABDsinDBC奎屯王新敞新疆ADBBDC180 sinADBsin（180BDC）sinBDCCDBC DBCBDC ABDADB ADABsinsin sinsinDCAD BCAB评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且 注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用奎屯王新敞新疆四、课堂练习四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆在ABC中，,则k为( )kCc Bb Aasin
8、sinsinA奎屯王新敞新疆2R B奎屯王新敞新疆R C奎屯王新敞新疆4R D奎屯王新敞新疆(R为ABC外接圆半径)R212奎屯王新敞新疆ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A奎屯王新敞新疆直角三角形 B奎屯王新敞新疆等腰直角三角形C奎屯王新敞新疆等边三角形 D奎屯王新敞新疆等腰三角形3奎屯王新敞新疆在ABC中，sinAsinB是AB的A奎屯王新敞新疆充分不必要条件 B奎屯王新敞新疆必要不充分条件 C奎屯王新敞新疆充要条件 D奎屯王新敞新疆既不充分也不必要条件4奎屯王新敞新疆在ABC中，求证：2222112cos2cos babB aA参考答案：1奎屯王新敞新疆A，2
9、奎屯王新敞新疆A3奎屯王新敞新疆C4奎屯王新敞新疆Bb Aa sinsinbB aAsinsin22)sin()sin(bB aA52222sinsin bB aA222cos12cos1 bB aA2222112cos2cos babB aA五、小结五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业六、课后作业：1奎屯王新敞新疆在ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列奎屯王新敞新疆)sin()sin( sinsin CBBA CA 证明：由已知得 sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB） cos2Bcos2Ccos2Acos2B 2cos2Bcos2Acos2C22cos1
10、 22cos1 22cos12BAB2sin2Bsin2Asin2C 由正弦定理可得 2b2a2c2 即a2，b2，c2成等差数列奎屯王新敞新疆七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记：八、课后记： 课课 题题：正弦定理、余弦定理（正弦定理、余弦定理（2 2）教学目的：教学目的： 1掌握正弦定理、余弦定理； 2使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题奎屯王新敞新疆教学重点：教学重点：正弦定理、余弦定理的运用奎屯王新敞新疆教学难点：教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型：授课类型：新授课 课时安排：课时安排：1 课时 教教 具具：多媒体、实物投影仪 教学过程教学过程：
11、一、复习引入：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，6即 = =2R（R 为ABC 外接圆半径）Aa sinBb sinCc sin2奎屯王新敞新疆正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时: )( ba) ,( babsinA)( bsinA asin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Ababab ab aba a一 一 一 a,b一 A一 一 一
12、一 一一 一 一 一一 一 一 一 一一 一abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CHHH若 A 为直角或钝角时: )( ba锐角一解无解ba3在 RtABC 中(若 C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与222bac其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 二、讲解新课：二、讲解新课： 1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍奎屯王新敞新疆即 Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2co
13、s2227 问题问题 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求 出此角的对边？ 推导推导 如图在中，、的长分别为、奎屯王新敞新疆ABCABBCCAcabACABBC () ()ACACABBCABBC 222ABAB BCBC 222| |cos(180)ABABBCBBC 22cos2aBacc即Bacacbcos2222同理可证 ，Abccbacos2222Cabbaccos22222余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角奎屯王新敞新疆三、讲解范例：三、讲解范
14、例：例例 1 1 在 ABC 中，已知a7，b10，c6，求 A、B 和 C奎屯王新敞新疆解： 0奎屯王新敞新疆725， A44bcacbA2cos222 0奎屯王新敞新疆8071， C36,abcbaC2cos222 B180(AC)100奎屯王新敞新疆(sinC 0奎屯王新敞新疆5954, C 36或 144(舍)奎屯王新敞新疆)aAcsin例例 2 2 在 ABC 中，已知a2奎屯王新敞新疆730，b3奎屯王新敞新疆696，C8228，解这个三角形奎屯王新敞新疆解：解：由 ，得 c4奎屯王新敞新疆297奎屯王新敞新疆Cabbaccos2222cabABC8 0奎屯王新敞新疆7767， A392,bcacbA2cos222 B180(AC)5830奎屯王新敞新疆(sinA 0奎屯王新敞新疆6299，
