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1、 为了定量地研究分子的运动状况，我们需要研究在平 衡态下分子的统计分布规律（按能量、速度、位置)气 体分子的碰撞是不是导致分子速度平均？麦克斯韦（Maxwell,1831-1879)，英国物理学家，16岁 考进爱丁堡大学，专攻数学和物理，19岁又进入剑桥大学。 1860年至1868年任伦敦皇家学院和剑桥大学物理学教授， 1870年创立并主持卡尔迪氏物理实验室。并担任剑桥大学首 席实验物理学教授。他是英国皇家学会会员。他的主要贡献 是建立了电磁场理论和气体分子速率分布率。开展气体分子 速率分布率研究时他28岁。玻尔兹曼（Boltzmann,1844-1906），奥地利物理学 家，1866年毕业于
2、维也纳大学，获得过牛津大学理学博士 学位。1867年在维也纳物理研究所做斯特凡（Stefan)的 助手和学生，他在气体动理论和热力学方面有重要贡献。20.3 三种统计规律大量粒子热运动遵从统计规律经典粒子微观粒子（与经典粒子的区别）费密子玻色子 寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）下粒子的分布规律麦克斯韦-波尔兹曼统计（M-B 分布）经典粒子按能量的分布。 费米-狄拉克统计（F-D 分布） 费密子（电子）按能级的分布。玻色-爱因斯坦（B-E 分布）玻色子（光子）按能量 h的分布。（热辐射规律）1、 排列组合1)设完成第一件事的方式有 m 种- 二 - n - 三 - p -则完成诸件事的方法有
3、 mnp-种。例； 由A到B有两条路，由B到C有三条路。则由 A经 B到 C共有23=6 条路。 。AB C一、 数学准备 2) 从n个不同的物体中，每次取一个而排列之，其方法有 种。- 二 -， - 三 -， - r -, -例；n 个不同粒子，每次取三个排在A B C有几种排列法？第一件事 n第二件事 n-1第三件事 n-23) 把 n 个物体分成 r 组，第一组有 n 1个，第二组有 n2个，-第r 组有 nr个，则n1 n2 n3 - nr4), 从 n 个物体中选出m 个的方法共有 种，即二、 斯特令公式xlnx以 ，x 为坐标，作 的曲线近似等于曲线下的面积，近似程度愈高。拉格朗日
4、乘子法 三、拉格朗日乘子法 都是独立变量，则 设只有第i个自变量 发生变化 ，即因 ，所以 。由 式而序号i 是任意的，所以 若个自变量 不全是彼此独立的，则 上式不再成立。若个自变量 是彼此独立的 ，即证：三、 相空间；描述一个粒子运动状态 x ,y ,z ,px ,py ,pz , 引入以此六个参量为轴的六维空间，称为相空间。一点代表粒子的一个状态。将相空间分为六维小相槽。以d表示，有多种分法； pxpypzppxpypzp1),落在相槽的粒子2）3）粒子在 V 中中有多少个状态 g ？ 经典；有无数个量子理论；根据不确定关系，在相槽 中我们分辨不出两种状态，换句话说在六维体积 中只有一个
5、状态。因此在 中的状态数20.3.1 等概率原理 宏观状态与微观状态左右宏观上两部分各有多少粒子？不区 分究竟是哪个粒子。 微观上具体哪个粒子在左？哪个粒子右？同一宏观态两种微观态a , b , c , d 四个粒子46411宏观态 微观态一个宏观态(分布)对应的微观态 数目叫做该宏观态的热力学概率等概率原理：处于平衡态的孤立系统，各 可能的微观态出现的概率相等。对应的微观态数目多的宏观 态出现的概率大20.3.2 麦克斯韦玻耳兹曼分布 经典分布平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分 布的。1，经典的眼光看粒子；1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。分辨与不可分辩 abcd可分
6、辩16个微 观状态不可分辩 5个微观 状态。2）一个能级可以容纳多个粒子， 每一个状态可以容纳多个粒子。2，理论依据；1）等概率假设2）平衡态是几率最大的状态（最概然分布）能级上每个量子态被占据的概率讨论过程中要用到等概率假设和约束条件约束条件:孤立体系各种量子态可能占据的方式数(1)求将N个粒子按 分别放到能量为（2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每个能级上的粒子数求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路(3) 个粒子分别占用能级 的 个量子态的占据方式为系统总微观状态数 （热力学概率）N 个可区分 粒子，分为 个粒子的组合方式为(1)Ni个经典粒
7、子分布在 能级的 个量子态上的占据方式为(2)(2) 为使 极大, 令利用斯特令公式因而由宏观约束条件（3） 由宏观约束条件确定 由拉格朗日乘子法原理经典粒子按能级的最概然分布M-B分布温度为T的平衡态理想气体在 能量为i的能级的每个量子态 上分布的平均粒子数20.3.3 费米狄拉克分布费米子：自旋是1/2的奇数倍。电子，子，质子，中子等全同性粒子。 每个状态只容纳一个粒子。平衡状态下的孤立系统， N个粒子能级状态数粒子数Nl个粒子占据gl个状态分布的微观态总数得平衡状态利用20.3.4 玻色爱因斯坦分布费米子：玻色子；自旋是1/2的偶数倍。光子，介子等全同性粒子。 每个状态只容纳多个粒子。平
8、衡状态下的孤立系统， N个粒子能级状态数粒子数将i个粒子放在i个 位置上，每个位置可容 纳多个粒子。第一个量 子态是固定的。Nl个粒子占据gl个状态平衡状态下三种统计的比较或 F-D或B-E或当 时，量子统计经典统计一般，当T 高时 空位子多M-B FD分布举例金属;去掉脚标代表能量 的每个状态上的粒子数当 T=00K 当01费米能级当当 时kT 不大时,少量电子能量增加少量电子参与导电,导热.N0 分子组成的固体金属在常温下逸出功, 热电子发射,1/21kT大kT小19.8 FD分布举例金属;去掉脚标代表能量 的每个状态上的粒子数当 T=00K 当01费米能级当当 时kT 不大时,少量电子能
9、量增加少量电子参与导电,导热.N0 分子组成的固体金属在常温下逸出功, 热电子发射,1/21kT大kT小19.9 B-E 分布举例1，推导绝对黑体普朗克公式T 平衡分布光子气玻色子平衡态； 只有一个约束表示能量为 的光子数设平衡态约束条件应用只考虑光子动量大小光波是横波，一个光子有两个偏振态，因此状态数应乘以 2 ，即能量在 的光子数2，光源的相干性； 为什么普通光源的光不相干光子简并度（每个状态的光子数）只有 才能相干，现计算室温下，对于微波易于实现相干波源对于可见光完全非相干光要使 热辐射的温度要达到 50000 K，所以获得相干光需另辟途径。非平衡过程；激光1）激励机制；光泵 造成粒子数
10、反转 实现受激辐射 的光放大2）激光介质3）谐振腔20.4 麦克斯韦-波尔兹曼统计在理想气体中的应用20.4.1. 麦克斯韦分子速度分布利用M-B分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。对理想气体，在温度T的平衡态下:分子速度在的概率利用M-B分布这里取为零利用20.4.2. 麦克斯韦分子速率分布律如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,在T的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围内的概率（麦克斯韦分子速率分布率）ovyvzvxv速率分布函数定义- 概率密度麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布率1、满足归-化条件:此式常用vv2vp vv+dvf (vp)of (v)
11、v1曲线下总面积:概率：2. 曲线下面积的物理意义取宽度为 的窄条面积:4、最概然速率（最可几速率） - f(v)-v曲线极大值所对应的速率 vp vp 的物理意义： vp 附近概率密度最大（同样速率间隔dv, 速率在 vp vp+d v 的分子数最多)由及3、 求平均值v2vp vv+dvf (vp)of (v)v1平均速率方均根速率5、 三种速率平均速率方均根速率最概然速率vvpof (v)用途不同麦克斯韦速率分布实验（施特恩实验）：银相对厚度实验装置金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵6、 f(v)-变化规律vf(v) T1T2T1 v f(v)m2m1m1物理意义？速率大于v1的速率平均值由例1
12、vf(v)温度T相同，哪个是H2? 哪个是O2?都个是H2, 温度不同，哪个温度高？vp1vp20例2用简化运算例3例4：求300K时，空气中速率在vp附近和10vp附近 单位速率区间的分子数占总 分子数的百分比各是多少？解：例5已知： N个粒子的速率分布函数为（C为待定常数）求：平均速率解：由例6一瓶气体由N个分子组成。试证不论分子速率分布函数如何，总有证：例：试计算下列气体在大气中的逃逸速度和均方根速率 之比H2 ，He , H2O , O2 , CO2 ,地球质量 地球半径：R=6378km计算结果：H2 ， He , H2O , O2 , CO2 , 5.88 8.32 17.65 2
13、3.58 27.59讨论：1、按照统计规律，分子中有大量的大于均方根速率存在。K=2224才能保证分子不逃逸。2、在行星形成之初，地球有大量的氢气和氦气，都逃逸了3、二氧化碳不能逃逸，要保护环境。4、可以推算其他星球的大气成分vds xvxdt用麦克斯韦速度分布函数，求单位时间内 碰撞到单位面积容器壁的分子数X轴方向垂直ds，则碰到ds的分子数为：积分只取vx0，因为小 于零不能撞ds外力场中, 粒子在速度在的分子数对所有速度积分,由速度分布 函数的归一 化条件, 得得体积元dxdydz内的总分子数:20.4.3 重力场中粒子按高度的分布用空间粒子数密度表示: n0为 Ep =0 处的粒子数密度重力场中重力场中粒子按高度的分布- 恒温气压公式空气密度气体压强可以看作单位面积上空气柱重量由重力场中粒子按高度的分布另一种推导方法：20.5
