微分方程及其应用的基础知识

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1、微分方程及其应用6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 6.2 一阶线性微分方程6.3 二阶常系数线性微分方程 6.4 常微分在经济中应用 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 6.1.1 微分方程的基本概念1. 微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常微分方程，简称微分方程。2. 微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 .一般地，n 阶微分方程的一般形式为： 3. 微分方程的解、通解（1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函数为该微分方程的解。如 y = x2 + 2是方程（

2、1）的解,显然 y = x2 + C 也是方程（1）的解.（2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解.如 y = x2 + C 是方程（1）的通解. 4微分方程的初始条件和特解（1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件； 一般地一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： （2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微分方程的特解。如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 是所给方程的通解 . 中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的 ， 6.1.2 分离变量法1定义

3、形如 的方程称为可分离变量的方程. 特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数2解法设当g(y)0时，两端积分得通解 注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =，则y =也是原方程的解； 解 分离变量，得 ydy = -xdx , 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2. 例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t

4、)时伞所受空气阻力为-k（负号表示阻力与运动方向相反（k为常数）伞在下降过程中还受重力P = mg作用， 由牛顿第二定律得 于是所给问题归结为求解初值问题 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动. 6.2 一阶线性微分方程6.2.1 一阶线性微分方程1定义： 形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数, Q(x)称为自由项特点： 方程中的未知函数y及导数 都是一次的 2分类若 Q(x)= 0, 即 称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程3一阶

5、线性齐次方程的解法 类型： 可分离变量的微分方程其中 C 为任意常数. 4一阶线性非齐次方程的解法用常数变易法 在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易 ,假设方程（1）有如下形式的解： 其中 C（x）为待定函数 于是方程(1)的通解为：（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式上述求解方法称为常数变易法用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次

6、线性方程的通解 式对应的齐次方程为 将方程分离变量得 两边积分得 即 所以齐次方程的通解为 ： 将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程得 将C(x)代入式 得原方程的通解： 例3 在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sint，在时刻t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,为常数）解 设任一时刻t的电流为i我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri， 由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即在电感L上产生的电压降是 式为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中 利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解： 6.2.2 可降阶的高阶

7、微分方程 特点：方程y(n) = f(x)的右端仅含有自变量解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该方程的通解 解 将所给方程连续积分三次，得 特点：方程右端不含未知函数y解法：令y = t，则y= t，于是原方程可化为以 t 为未知 函数的一阶微分方程 t= f(x ,t) 解 令y= t，则y= t， 代入原方程得 分离变量得 两边积分得 即再积分得 例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上B(1,0)点处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行

8、曲线方程 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)，在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰的坐标为Q(1, v0t)因为鱼雷始终对准敌舰，所以 令y= p，方程可化为 这是不显含y的可降阶微分方程,根据题意，初始条件为 分离变量可解得 从上面两式消去v0t得： 两边关于x求导得: 即即所以而所以积分得以 y(0)= 0代入，得 所以鱼雷的航行曲线方程为： 特点： 方程右端不含变量x 从而将原方程化为一阶微分方程： 代入原方程得 当y0，P0时，分离变量得： 两端积分得： 当P 0时，则y = C（C为任意常数） ， 显然，它已含在解 所以原方程的通解为： 6.3 二阶常系数线性微分方程定义

9、 形如 的方程，称为二阶常系数线性微分方程其中p,q为常数 .注 当f(x)0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； 当f(x)=0时，即 方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程 6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质1齐次线性方程解的结构定义：设y1 = y1(x)与y2 = y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果存在两个不全为零的常数 k1 , k2，使得对于 (a,b) 内的任一x恒有k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关，否则称为线性无关由定义知：y1与y2线性相关的充分必要条件是不恒为常数，则y1与y2线性无关 定理1

10、（齐次线性方程解的叠加原理） 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 与 y2线性无关， C1和C2是两个独立的任意常数, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齐次线性方程解的结构定理2 （非齐次线性方程解的结构）若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程

11、(1)所对应的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程 (1)之通解证 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 确为方程(1)的解又 yc 中含有两个独立的任意常数，所以 y = yp+ yc 中也含有两独立的任意常数，故 y = yp+ yc 为方程(1)的通解定理3 若y1为方程 y2为方程 则 y = y1 + y2 为方程的解.证： 将y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法其中 p, q 为常数.令方程(2)的解为 （r为待定常数） 代入方程(2)得 (4) 由此可见，只要r满足

12、方程(4)，函数 就是方程(2)的解 定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的两个根r1 , r2 称为特征根 由于特征方程(4)的两个根 只能有三种 不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式 当= p2 - 4q 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1 r2 由上面的讨论知道 是方程(1)的两个解 又y1与y2线性无关，因此方程(2)的通解为 : 当= p2 - 4q = 0时，特征方程(4)有两个相等实根 r = r1 = r2 我们只能得到方程(1)的一个解 对y2求导得 代入方程(2)，得又 r是特征方程的二重根 ， 因为u(x)不是常数，不妨取u

13、(x)= x， 这样得到方程（2）的另一个解 从而方程（2）的通解为 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一对共轭复根 为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉公式 将y1与y2分别改写为 由定理1知， 仍是方程(2)的解，这时 不是常数， 即综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下： 第一步 写出方程的特征方程第二步 求出特征方程的两个根r1及r2 ;第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解具体如下：通解形式特征方程的根解 特征方程为 特征根 因此，方程的通解为 解 特征方程为 特征根 因此，方程的通解为 解 特征方程为 特征根为 于是方程的通解为 解 特征方

14、程为 特征根 因此方程的通解为 故所求特解为 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 其中p,q为常数，f(x)0 它对应的齐次方程为： 其中 为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即 设想方程(5)有形如 其中Q(x)是一 个待定多项式 代入方程(5)，整理后得到 ： (6) 当2+p+q 0时，设 (7) 其中b0,b1,bm 为m+1个待定系数 将式(7)代入式(6)，比较等式两边同次幂的系数，得到以b0,b1,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0,b1,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为 当2+p+q=0且2+ p 0 时，(即为特征方程的单根)

15、 那么式(6)成为 由此可见，Q与Pm(x)同次幂，故应设其中Q m(x)为m次待定多项式将Q m(x)代入式(6) 确定Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程(5)的一个特解： 当 2+p+q = 0 且2+ p =0 时，(即为特征方程的重根) 那么式(6)成为 故应设 将它代入式(6)， 确定Q m(x)的系数所以方程(5)的一个特解为 综上所述，我们有如下结论：二阶常系数非齐次线性微分方程 (5) 具有形如 的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下 ： 根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程从略）： 其中 Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = maxl，n)，其系数待定，而解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 其特征根为 代入原方程得 即比较系数得： 所以解 对应的特征方程为 特征根 所以，齐次方程的通解为 =3 恰是二重特征根 代入原方程后化简得： 于是 所以，原方程的通解为 解 对应的特征方程为 特征根 对应的齐次方程的通解为 =2 是特征单根， 代入原方程得： 整理得 ： 比较两端得 于是 故所给方程的通解为 解 特征方程为 特征根为 代入原方程得 比较等式两端得： 于是 由线性微分方程解的结构定理可知，所给方程的特解形式为的特解 因此所给方程的特解为 6.4 常微分在经济应用