2011年2月高等几何11

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1、为什么要学几何？ 问题1:现实生活中的一些实际问题需要得到解决例如：如何丈量土地、如何容器测量体积等等学了几何有什么用？可以解决现实生活中的一些实际问题问题2:例如：可以用一些平面图形的面积公式计算出某些土地的面积几何 几何学几何学是怎样产生的？问题3:古代埃及由于尼罗河每年都发生泛滥，淹没了耕地， 水退后需要重新丈量，于是从土地丈量积累起来的测地知识逐 渐发展成为几何学。恩格思在反杜林论中曾说：几何学是“从丈量土地 、测量容积和制造器皿”等生产实践活动中产生和总结出来的 。古埃及时期陶器 西安半坡陶器 这些都是古董！ 几何几何的 研对象研究几何的方法点 线 面 体公 理 化 方 法代 数 的

2、 方 法数学分析 微分的方法欧 式 几 何解析几何微 分 几 何平面解析几何空间解析几何数学分析 积分的方法积分几何其它方法其它几何非 欧 式 几 何仿 射 几 何射 影 几 何拓 扑 学黎 曼 式 几 何其 它 几 何 学第一部分 几何发展概述第二部分 欧氏几何、仿射几何与射影几何 第三部分 “大学几何”与“中学几何” 第一部分 几何发展概述一、欧几里德与原本二、解析几何的诞生四、非欧几何的产生与非欧几何的公理体系第一章 几何发展简史三、从透视学到射影几何五、几何学的统一与公理化思想六、几何学的近现代发展简介大约公元前7世纪，古代埃 及的几何只是传入了希腊，希腊人 把逻辑思想引进了几何学，使

3、几何 体系逐渐严格化，从而为几何学的 系统化，公理化奠定了基础。这其 中及其重要的人物希腊数学家 欧几里德起到尤为重要的作用，他 借助于逻辑系统将几何知识整理起 来，完成了数学历史上的光辉著作 几何原本。一、欧几里得与原本1.欧几里得简介欧几里得，古希腊人，生 于雅典，约生于公元前330年， 约殁于公元前260年，是柏拉图 的学生。他的科学活动主要是 在亚历山大进行的，在这里， 他建立了以他为首的数学学派 。欧几里得借助于逻辑学将几何实践与理论知识进 行系统地整理归纳，完成了数学史上最伟大的著作 几何原本。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作

4、风，也 反对狭隘实用观点。欧几里得建立起来的几何 学体系之严谨和完整，就连20世 纪最杰出的大科学家爱因斯坦也 不能对他不另眼相看。爱因斯坦说：“一个人当他最初接 触欧几里得几何学时，如果不曾为它 的明晰性和可靠性所感动，那么他是 不会成为一个科学家的。”几何原本对数学的发展产生了深远的影响，“几何学”也由此产生。“欧氏几何”就是以他的名字来命名的。“欧氏几何”的主要内容就取自几何原本，直到现在仍然是中学几何的主要内容。据普罗克洛斯记载，亚历山大国王 多 禄米曾师从欧几里德学习几何，有一次对 于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表 示不耐烦。国王问道：“有没有比你的方法简捷一 些的学习几何学的途

5、径？”2.有关欧几里得的几则故事欧几里得答道：“陛下，世间下有两种道路，A地B地1）.欧几里德与国王的“对话”一种是供老百姓走的难走的小路，但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向 学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。”一种是供皇家走的易走的坦途。欧几里得的这番话后来推广成为传 诵千古的箴言： “求知无坦途”“求知无捷径”或2）.欧几里德与妻子的“对话”妻子说：“收起你的乱七八糟的儿何图形，它难道 为你带来了面包和牛肉。”欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道： “妇人之见，你知道吗？我现在所写的，到后世将价 值连城！”妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗 ？你这书呆子。”欧几里得

6、刚要分辩，只见妻子拿起他写的几何 原本的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢，可 是已经来不及了。据说妻子烧掉的是几何原本中最后最精彩 的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅 是一些有用的书，她烧的是欧几里得血汗和智慧的 结晶。 斯托贝乌斯记载了另一则故事，说一个 学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了 几何学之后将得到些什么。3）. 欧几里得与学生的“对 话”欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。欧几里德将公元前7世纪以来希腊几 何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中 ，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了 几何原本之外，他还有不少著作，可惜大都失传 。已知数是

7、除原本之外唯一保存下来的他 的希腊文纯粹几何著作已知数和几何原本 前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素 已知，则另外一些元素也可以确定。图形的分割 现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知 图形分为相等的部分或成比例的部分。光学是 早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的 入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达 物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几 里得，而且已经散失。 3.3欧几里得的著作2.几何原本简介1.1 原本产生的历史背景欧几里得原本是一部划时代的著作。 其伟大的历史意义：在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。 从泰勒斯算起，已有三百多年的历史。泰

8、勒斯是希腊 第一个哲学学派伊奥尼亚学派的创建者。他力图摆脱宗教 ，从自然现象去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样 ”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了 命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步。 希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心。雅典 的巧辩学派提出几何作图的三大问题：三等分角；倍 立方体求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积 的两倍；化圆为方求作一正方形，使其面积等于一 已知圆。 接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学 从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系。他们发 现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在 ，这些后来都成为原本的重

9、要内容。这个学派的另一 特点是将算术和几何紧密联系起来，为原本中算术几 何化提供了线索。问题的难处是作图只许用直尺（没有刻度，只能画直 线的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出， 而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学 从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。作图只能用尺规的限 制最先是伊诺皮迪斯提出的，后来原本用公设的形式规 定下来，于是成为希腊几何的金科玉律。 1.2 原本的结构与内容在印刷本出现之前，原本的各种文字的手抄本已流传了 一千七百多年，以后又以印刷本的形式出了一千多版。从来没有 一本科学书籍像原本那样长期成为广大学子传诵的读物。古 希腊的海伦、帕普斯、辛普利休

10、斯等人都做过注释。亚历山大的 赛翁提出一个修订本，对正文作了校勘和补充。这个本子成为后 来所有流行的希腊文本和译本的蓝本，一直到19世纪初，才在梵 蒂冈发现早于赛翁的希腊文手抄本。全书共分13 卷2.几何原本简介：其中共包括有：5条公理5条公设119个定义465条命题1.1 原本产生的历史背景公设1 任两点可联一线； 公设2 直线可任意延长； 公设3 以任何中心、任何半径可作一圆； 公设4 凡直角都相等。公设5 “如果一直线和两直线相交，所构成的同旁 内角小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那 两内角的一侧相交。”这公设比其它四个复杂得多，而且 并不那么显而易见。这就是第5个就是著名的

11、欧几里得第五 公设。12ab c若角1+角2180度，则直线a与b一定相交于直线c的右侧。公设5等价于“过一直线外一点有且只有已调直线与已知 直线平行。 前4个很简单，但第5共设就比其它四个复杂得多，而且并不那 么显而易见，因此引起长达两千多年的争论，最后导致非欧几 里得几何学的产生。 即，通常说的“平行共设 ” 公理1 等于同量的量彼此相等；公设之后是5个公理：公理2 等量加等量，和相等；公理3 等量减等量，差相等；公理4 彼此重合的图形是全等的；公理5 整体大于部分。近代数学不区分公设与公理，凡是基本假定都叫公 理。原本后面各卷不再列出其它公理。这一卷在公理之 后给出48个命题，包括三角形

12、的角与边、垂线、平行线、平 行四边形等命题。下面给出其中的几个命题。命题1 在给定直线上作一等边三角形。命题2 过一已知点（作为一个端点）作一直线（段）使之等 于一已给直线（段）。命题4 若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。命题5 等腰三角形两底角相等。命题47 “在直角三角形斜边上的正方形（以斜边为边 的正方形）等于直角边上的两个正方形”。 这就是有名的勾股定理！以下简要介绍原本的内容。第1卷首先给出23个定义。如“点是没有部分的”，“ 线有长无宽”，等等。还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、 圆、直径、等腰三角形、等边三角形、菱形、平行线等定义。 接着是5个公设：第2卷包括14个命

13、题，用几何的语言叙述代数的恒等式。第3卷有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四 边形及与圆有关的图形。第4卷有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究 ，圆内接正多边形（5边、6边、15边）的作图。第5卷是比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。 第6卷把第5卷已建立的理论用到平面图形上去，共33个命题。第7、8、9三卷是数论。第10卷是篇幅最大的一卷，包含16个定义和115个命题，主 要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），但只涉及相当于 之类的无理量。第11卷讨论空间的直线与平面的各种关系（相交、垂直 、平行等）以及平行六面体的体积等问题。第12卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于

14、直径平方的比” ，“球体积的比等于直径立方的比”以及“锥体体积的比等于同底 等高的柱体的”等。 第13卷着重研究5种正多面体。1.3 原本的优缺点成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复 杂结论的整体结构。对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发 建立了几何学的逻辑体系，称为其后所有数学的范本。几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教 育手段。欧几里得原本被称为数学家的圣经，在数学史， 乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它的主要贡献在 于：原本是古希腊数学的代表作，出现在两千多年前，这是难能可贵的 。但用现代的眼光看，也还有不少缺点：首先使用了重合法来证明图形的全等。这方法

15、有两点值得怀疑：第一 ，它用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的；第二，重合法默认图形 从一处移动到另一处时所有性质保持不变。要假定移动图形而不致改变 它的性质，那就要对物理空间假定很多的条件。其次是公理系统不完备，例如没有运动、连续性、顺序等公理， 因此许多证明不得不借助于直观，利用今天的认识可以发现欧几里得用 了数十个他所从未提出而且无疑并未发觉的假定，包括关于直线和圆的 连续性的假定。 也有的公理可以从别的公理推出（如直角必相等）。又点、线、面等 定义本身是含混不清的，而且后面从来没有用过，完全可以删去。在一些实际给出的证明里也有缺点。有些是欧几里得搞错的地方 可以纠正，但少数地方需要给出

16、新的证明。另一类缺点是原本中通 篇都有，那就是只用特例或所给数据（图形）的特定位置证明一般性的 定理。 同时，全书十三卷并未呵成一气，而在某种程度上是前人著作的堆砌 。例如，第七、八、九卷对整数重复证明了先前对量所给出的许多结果 。第十三卷的第一部分重复了第二和第四卷中的结果。第十、十三卷可 能在欧几里得以前是单独的一本著作。1.4 原本对我国数学的影响中国传统数学最明显的特点是以算法中心。虽然也有 逻辑证明，但却没有形成一个严密的公理化演绎体系，这也许 是最大的弱点。明末原本传入，正好弥补我们的不足。可 是实际情况并不理想。徐光启本人对原本十分推崇，也有深刻的理解。他 认为学习此书可使人“心思细密”。在译本卷首的几何原本 杂议中说：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材 而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天 下之人而归于实用者，是或其