力学量算符的测量意义与海森伯不确定关系

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1、1996年10月 西北大学学报( 自然科学报) Oct. 1996 第26卷第5期 Journal of Northwest University(Natural Science Edition) Vol. 26 No. 5力学量算符的测量意义与海森伯不确定关系?刘 洪(陕西教育学院物理系, 710061, 西安; 57岁, 男, 副教授)摘 要 讨论了算符与力学量测量的关系, 以及对两个力学量同时进行测量的物理含义, 从而说明不确定关系只能从统计性测量的涨落角度来理解。 关键词 算符; 对易性; 同时性分类号 O413. 1两个力学量算符 A?与 B?对易, 我们通常说它们可以同时有确定的测

2、量值。 不难发现, 在这里有两个概念是比较模糊的: 第一, 对力学量的测量是怎样和算符联系在一起的, 算符的测量意义是不明确的; 第二, “ 同时有确定值” 意味着对两个不同的力学量“ 同时” 进行测量, 对易关系 A?, B? = 0是否与“ 同时性”有必然的联系, 本文试做如下讨论。1 算符的测量意义对力学量 A 进行观测, 测量值必定是它的本征值谱( 为方便起见, 以分立谱为例) 中的一个 ai。 观测结束后, 系统将处在其对应的本征态?ai 。 如果观测前系统就处在本征态?ai , 测量结果必定是 ai, 这可由本征方程来表达:A?ai = ai?ai 。( 1)式( 1) 的测量意义

3、很明确, 可以认为它描述了测量过程和测量结果, 算符 A?就类似于测量符号。 若测量前系统处在任意状态? , A 的测量值是不确定的, 我们只有用方程A? = ? 。( 2) 来描述这件事。 它只表示算符 A?对状态? 作用使其变成另一个状态? 。 它没有反映在状态? 下对 A 的实施一次测量过程和结果。 式( 2) 的物理涵义是不清晰的。 它说明算符对状态的作用与测量没有直接的对应关系。 设想包含大量量子系统的系综。对力学量 A 某一值 ai的测量,实际上就是对系综中凡处于状态?ai 的系统所组成的子系综的“ 过滤” 或“ 分离” 。 例如史特恩盖拉赫实验, 处在非均匀磁场中的原子束, 每个

4、原子是一个系统, 具有相同 Lz值的原子集合形成子系综。 它们通过实验装置被从整个原子束这个系综中“ 过滤” 出来, 投射在屏上相应的位置。 用测量符号 M?( ai) 代表对力学量 A 取值为 ai的系统的“ 过滤” 1。 我们有M?( ai) ?ai = ?aiM?( ai) ?aj = 0, ijM?( ai) ?aj = ?ai ?ij。( 3)它表示, 如果进行观测值为 ai的测量, 只有处在状态?ai 的系统被观测到, 即被“ 过滤” 出来。 这个意义也适用于单粒子系统。 当系统处在任意状态? = i?ai 时, 只有态 ?ai 被“ 过滤” 出来。?收稿日期: 1995- 05-

5、31M?( ai) ? = ?ai 。( 4)式( 4) 显示, 算符?ai 是态矢量? 用力学量 A 的本征态矢完备集展开的展开系数。 为了看清 的含义, 求左矢 的内积, 得= = ? ?2。( 5)等式左端是展开系数的模平方,具有明显的几率意义。对于展开式 ? =i?ai , ? ?2表示系统在叠加态? 中部分地处于态?ai 的几率。因此式( 5) 的左端可以理解为: 在状态? 下对力学量 A 进行测量,测量到力学量 A 取值为 ai或观测到系统处在态?ai 的几率可表示为。 它是直接与测量结果联系在一起的数学表达式。 需要注意的是, 式( 3) 可以代表某个一次性测量, 式( 4) 不

6、能看成是一次性的测量。 因为, 当系统处于? 态时, 力学量 A 没有确定的值。 对某一次测量 M?( ai) , 很可能没有观测到 ai。 这就是说, 就这一次测量而言, 体系并没有部分地处在?ai 态,它的测量结果实际上是 M?( ai) ?aj = 0 ( ij) 。 式( 4) 所表现的统计性测量意义来源于叠加态? 的统计性内涵。通过力学量算符 A?对任意状态的作用, 可导出算符与测量符号的关系。A? =iai?ai ,显然,A?=iai?ai =iai ,( 7)A?的统计性测量意义就更清楚了。2 测量的同时性与可换性对两个力学量“ 同时” 进行观测是个有争议的问题。 狄拉克就认为:

7、 一般来说, 我们不可能在一个确定的状态下进行观测而不干扰这个状态, 于是也就破坏了对它进行再次观测的条件。 他说, “ 于是, 我们不可能对两个同时进行的观测给予任何意义。 ” 2从而否定了在一般情况下对两个力学量“ 同时” 进行观测的可能性。 为了避免这样的困难, 有人提出一项解决方案 3。 一种叫做空间系综, 它包含大量处于相同状态的互不干扰的独立系统, 我们同时对其中一部分系统测量力学量 A , 对另一部分系统测量力学量 B; 另一种称为时间系综, 它可以一次又一次反复制备出状态完全相同的系统, 我们可以对这些系统在不同时刻分别测量力学量 A 和力学量 B。 不管是哪一种系综, 对两个

8、不同力学量的测量都是在完全相同的状态和系统中进行的, 正如文献3所说的, “ 多个事件( 指测量笔者) 既可以是同时的, 也可以是非同时的,只要都是对于处在同一状态 ?的系统进行测量, 就算作一个合用的事件。 ” 笔者认为, 在这个意义下, 这 样的两个测量可以看作是“ 同时” 性的。我们定义两个测量符号相乘 M?( ai) M?( bj) 1。 它表示先对力学量 B 取值 bj的测量, 从状态为? 的系综中“ 过滤” 出状态为?bj 的子系综, 然后再在状态为?bj 的子系综中对力学量 A 取值 ai的测量, 从这个子系综中最终“ 过滤” 出状态?ai 。 这个过程可表作M?( ai) M?

9、( bj) ? = ?ai 。( 8)如果先对A 后对B 进行测量, 最终“ 过滤” 出状态?bj ,M?( bj) M?( ai) ? = ?bj 。( 9)如果两个测量与次序无关, 测量符号的乘积满足交换律时, 我们称两个测量是可交换的。 容易证明, 这种情况只有当: ? 力学量 A 与 B 的某两个本征值 ai, bj有共同的本征态?ai = ?bj ( 并不要求 A 与 B 的398西北大学学报(自然科学版)第26卷其他本征值也有共同的本征态) ; ? 并且系统正处在这个状态时才会发生, 此时M?( bj) M?( ai) = M?( ai) M?( bj) ,M?( bj) M?(

10、ai) ?ai = M?( ai) M?( bj) ?bj = ?ai = ?bj 。( 10)上述两个条件必须都满足, 两个测量才是可交换的。不难看出, 第一, 定义 M?( ai) M?( bj) 规定了测量的顺序, 两次测量显然不是在同一时刻进行的。 所以一般来说, M?( ai) M?( bj) 定义的两个测量不具有同时性; 第二, 式( 8) , ( 9) 是具有统计意义的表示式, 它不代表某一特定的两个依次测量, 不反映其具体测量结果; 第三, 只有式( 10) 所代表的两个可换性测量才能看成是一个具体的依次测量过程和测量结果。 它满足“ 空间” 或“ 时间” 系综的约定。 尽管两

11、个测量是依次( 因而不可能在同一时刻) 进行的, 我们可以看成是对两个力学量的同时测量。 测量结果分别是 ai, bj。3 算符对易与力学量的同时测量两个算符的乘积可表作A?B?=iaiM?( ai)jbjM?( bj) =i, jaibjM?( ai) M?( bj) 。( 11)很明显, 算符 A?, B?的乘积不能表示对力学量 A 和 B 进行“ 同时” 性观测, 它对状态? 的作用只是依次对力学量B 和力学量 A 进行测量的统计性结果的反映。两个算符的对易关系 A?, B? = i C?与测量符号联系起来可表为 A?, B? =i. jaibj M?( ai) M?( bj) - M?

12、( bj) M?( ai) = i lClM?( Cl) 。( 12)若 A?, B?对易, 则有 A?, B? =i, jaibj M?( ai) , M?( bj) = 0。( 13)式( 13) 说明, 两个算符对易并不要求必须以两个力学量的测量有可换性( 即可同时测量) 为前提, 它只要求对两个力学量统计性的测量结果有可换性就可以了。 狄拉克说, “ 在两个力学量对易的特定情况下, 观测应被认为是互不干扰或可交换的, 按照这样方式, 我们可以对同时进行两个观测给予意义。 ” 2事实上, 由于测量总是在一定的状态下进行, 两个力学量即使对易, 观测也不能肯定是可换的。 例如对易算符L?2

13、, L?z, 当系统处在状态? =1 2?1, 1 +1 2?1, - 1 ,测量M?( l= 1) M?( m= - 1) 和 M?( m= - 1) M?( l= 1) 就可能是不可交换的, 它们最后“ 过滤” 出来的状态都可能出现两种结果, ?1, - 1 和0。 对一次具体的依次测量, 前一个“ 过滤” 结果可能是?1, - 1 , 后一个也许是0。 力学量算符不等同于测量符号, 算符对状态的作用不代表一次具体的测量过程和结果, 这样一些重要概念在某些书籍中被混淆了 4。用以上观点来考查海森伯不确定关系?A ? ?B1 2? A?, B? ?,( 14)就很容易理解它描述的不是一次性测

14、量, ?A =( A?- A-)2, ?B=( B?- B-)2也绝非指同一时刻的测量不确定度, 它只是描写了统计性测量的涨落 3。当 A?, B?对易时, 它们有完全相同的本征态矢完全集。 即使 A?与 B?不对易, 也可能会有若干个或某一个共同的本征矢, 文献5提出了很典型的例子。 当体系处在这样的状态时, 式( 12) 就变成 A?, B? ?ak =i, jaibj M?( ai) M?( bj) - M?( bj) M?( ai) ?ak= akbk M?( ak) M?( bk) - M?( bk) M?( ak) ?ak = 0。这时对 A?与B?的测量是可交换的, 不确定关系才

15、能看成是一次性测量的结果。 此时, 不仅式( 14) 右端为零, 且左端 ?A = ?B= 0, 我们就说力学量 A 与 B 同时有确定的值。 只不过在 A?, B?不对易时, 它们有个399第5期 刘洪: 力学量算符的测量意义与海森伯不确定关系 别共同的本征态矢可以被看作是“ 偶然” 的。 因此, 一般来说, 当两个力学量算符对易, 并且系统处在它们 的共同本征态时, 这两个力学量同时具有确定的测量值。 这里指的就是前述意义的“ 同时” 性。综上所述, 力学量算符不等同于测量符号; 两个力学量算符对易, 不表明对这两个力学量的测量顺序有可交换性。 力学量算符展现的是具有统计意义的测量算符。 用这种观点考查不确定关系, 不难看出, 它描述的不是一次性测量, 而是统计性测量涨落所遵循的规律。参 考 文 献1 余寿绵. 高等量子力学. 济南: 山东科学技术出版社, 1985. 10122 Dirac P A M.T he Principles of Quantum Mechanics. 3rd ed.Cambridge:Johns College, 1947. 523 关洪. 测不准关系的意义( 上). 大学物理, 1983, 21(9) : 344 Davies P C W. Quantum Mechanics. Lo