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1、两个实随机过程的互功率谱密度两个实随机过程的互功率谱密度两个实随机过程的互功率谱密度两个实随机过程的互功率谱密度因为都满足绝对可积的条件，所以它们的富氏变换 存在：( ),( )0k kTx tTtTxt=，其它( ),( )0k kTy tTtTyt=，其它( ),( )kTkTxtyt( )( )kTkTxtX( )( )kTkTytY1、互平均功率的定义互平均功率的定义互平均功率的定义互平均功率的定义考虑两个平稳实随机过程X(t),Y(t)，分别表示 X(t)和Y(t)的样本函数。我们定义两个截尾函数为：( )( )kkx ty t与故而据帕赛瓦尔定理有： 1( )( )( )( )(
2、)( )2TkTkTkkkTkTTxt yt dtxt yt dtXYd=一、互功率谱密度一、互功率谱密度因为X(t),Y(t)为实过程，所以。 则可以得到两个随机过程的样本函数的互平均功率。*( )( )( )( )kkkkxtx tyty t=( )( )11lim( )( )lim222TkTkT kkkTTTXYPx t y t dtdTT=( ),( , )TTXY TP由于相对于所有结果，都是试验结果的函 数，则其互平均功率 ( )( )11lim( ) ( )lim222TTTTTTXYPX t Y t dtdTT=是一个随机变量。如果对再求统计平均，便可得到一个确定值( )(
3、)11lim( ) ( )lim222TTT XYTTTXYE PEX t Y t dtEdTT=PP值值交换期望与极限的次序有：XYP11lim( ) ( )lim( , )22 ( )( ,)11lim( )222TTXYXYTTTTTT XYTE X t Y t dtRt t dtTT E XY TdGdT=P这个统计平均后的确定值被定义为X(t),Y(t)的互平均功率。XYP2、互功率谱密度的定义互功率谱密度的定义互功率谱密度的定义互功率谱密度的定义1( )lim( )( )2XYTTTGE XYT=定义中的被积函数为X(t),Y(t)的互功率谱密度。X(t),Y(t)的另一互功率谱密
4、度：1( )lim( )( )2YXTTTGE YXT=)()(=YXXYGG同理有X(t),Y(t)的另一互平均功率：比较两个互功率谱密度可得：二二.互谱密度与互相关函数的关系互谱密度与互相关函数的关系11 ( )( ,)( )( ,)FFXYXYYXYXFFGRt tGRt t +若X(t) 与Y(t)联合平稳，则有11 ( )( )( )( )FFXYXYYXYXFFGRGR 1lim ( )( )2 ( )( ,)11lim( )222TYXTTTT YXTE Y t X t dtT E YXTdGdT=PjGGXYYX= 39)()( )( )XYYXGG，求与解：例1 设X(t)
5、与Y(t)联合平稳，且互相关函数为=0, 00,9)(3eRXY jUeFRFGXYXY+= 39)(9)()(3 )(Re)(Re YXXY GG( )( )() ( )()( )TTTTTTXtXX Y tYY = =)()()(= YXYXXYGGG三、互谱密度的性质三、互谱密度的性质1、因为X(t),Y(t) 为实过程2、互谱密度的实部为复函数所以有：为偶函数3、互谱密度的虚部 )(Im)(Im YXXY GG 为奇函数11( )lim( )( )lim( )( )22 11lim( )( )lim()()22XYTTTTTTTTTTTTGE XYE YXTTE YXE YXTT =)
6、()()(2)()(2)()()(YXXYXYYXYXXYXYYXYXXYGGmmGmmGmmRmmR= = =5、当X(t) 与Y(t) 互不相关时1、白噪声的定义、白噪声的定义)(),.(2)(0=常数NGN功率谱密度为常数，均匀分布在整个频域上，具有零均值的平 稳过程，称为“白噪声”。通常记为：N(t)白噪声白噪声 一、一、理想白噪声理想白噪声理想白噪声理想白噪声4、当X(t) 与Y(t)正交时 = =0)(0)(0)(0)(YXXYYXXY GGRR1100( )( )( )22NNNNRFGF =02)(0NGN=这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只 要0，状态之间都是不
7、相关的。这说明白噪声过程的样本白噪声过程的样本白噪声过程的样本白噪声过程的样本 随时间起伏极快随时间起伏极快随时间起伏极快随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。2、白噪声的自相关函数、白噪声的自相关函数0)(2)(0NRN=3、白噪声的自相关系数、白噪声的自相关系数 1,0( )( )0,0(0)N N NR R= /1以上定义的白噪声是一个理想化的数学模型理想化的数学模型理想化的数学模型理想化的数学模型。在物理上是不存 在的。无穷大其平均功率)0(2)0(0 NNNNRW=而任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总 存在一定的相关性
8、。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t) 做 为样本。4、白噪声的特点白噪声的特点白噪声的特点白噪声的特点理由： 2白噪声无论在理论上，还是在实际应用中，都是最常的一种噪最常的一种噪最常的一种噪最常的一种噪 声模型声模型声模型声模型。原因： 经过验证，实际应用中出现的许多重要的噪声过程都可 以用白噪声来近似。如：“电阻热噪声”。 =常数功率谱密度冲激自相关函数)()(NN GR原因：由于白噪声的在数学上有很好的分析性质。原因：白噪声可以替代系统中的宽带噪声可以替代系统中的宽带噪声可以替代系统中的宽带噪声可以替代系统中的宽带噪声。在实际应用中，系 统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统 后的
9、结果都一样。如：只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内，是一常数， 就可以把它近似为白噪声来处理。0)(XG0)(YG0)(H 0)(NG02( ) 0XGG= ，其它 低通型限带白噪声相当一个“理想白噪声”通过一个理想低通滤波器。二、限带白噪声二、限带白噪声1、定义、定义若一零均值的平稳过程，其功率谱密度在一有限范围 内均匀分布，而在其它处为零，称“限带白噪声”2020G其自相关函数20 0 2sin(2)1( )22(2)j XGRGed=2、分类、分类其功率谱密度 )()(XX RG0sin(2)2( )01,2,2(2)XGRnn=L，20244)(XR对照该噪声的可见，随着，在频域上越宽，在频域上越窄。 ，(t)。)(XR)(XG)(XR2020G可见，凡时间差为的状态 彼此是不相关的。2n=00022( ) 0YGG+= 其它000cos)(22)(2)()()()()()(0000XjjXj Xj XYXXYReeReReRRGGG=+=+=+= 带通型限带白噪声相当一个“理想白噪声” 通过一个 理想带通滤波器。0000022( )YG42240)(YR三、色噪声三、色噪声000cos 22sincos)(2)( =GRRXY所有非白噪声，统称“色噪声”。
