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1、-1-第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理-2-4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。-3-(4-1)(原始形式原始形式)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)-4-非齐次方程组解的存在
2、性定理定理定理4.1.14.1.1对于非齐次非齐次方程组(4-1)向量 可由A的列向量组线性表示。-5-定理定理4.1.24.1.2设的线性方程组的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)-6-齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)(原始形式原始形式)-7-定理定理4.1.34.1.3对于齐次齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则齐次齐次方程组必有非零解。-8-定理定理4.1.44.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)学习书P.135 例2-9-第四章第四章线性方程组的
3、解的结构线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理-10-4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系基础解系) 如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1) 解集的特点?称：-11-性质1：若 是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称
4、为这个齐次 线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)-12-设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理定理4.2.14.2.1推论推论2 2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意 个线性无关的解向量均可构成基础解系。-13-设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。( 取任意实数)从而也是(4
5、-3)的解。-14-齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）（1）对系数矩阵A 进行初等变换，将其化为最简形-15-由于分别令（2）得出 ，同时也可知方程组含有 个自由未知量：-16-于是得-17-下证是方程组的 基础解系由上式可以看出，就是n-r个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的也是线性无关的后n-r个分量，因而添加了r个分量的向量组-18-最后n-r 个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样 -19-于是得通解所以，是方程组的基础解系-20-因为秩(A)=24，所以方程组有非零解。x1 2x1 x12x2 x2 x22x3 2x3 4x3x4 2x4 3x40 0 0= = =
6、+ + -+ - -+ - -解： 2 1 -2 -21 -1 -4 -31 2 2 1 A= 0 -3 -6 -40 -3 -6 -41 2 2 1 0 3 6 40 0 0 01 2 2 1 0 1 2 4/30 0 0 01 2 2 1 0 1 2 4/30 0 0 01 0 -2 -5/3 ，例1解线性方程组通解为x1 x2 x3 x42 -2 1 05/3 -4/3 0 1+ c2= c1，(c1，c2是任意常数)。-21-例1解线性方程组 。x1 2x1 x12x2 x2 x22x3 2x3 4x3x4 2x4 3x40 0 0= = =+ + -+ - -+ - -解： 2 1
7、-2 -21 -1 -4 -31 2 2 1 A= 0 1 2 4/30 0 0 01 0 -2 -5/3 ，对应方程 (x3，x4为自由未知量)，x1 x22x3 2x3(5/3)x4 (4/3)x4= =-+ -令得基础解系通解为x1 x2 x3 x42 -2 1 05/3 -4/3 0 1+ c2= c1，(c1，c2是任意常数)。-22-说明：通过基础解系求通解和原来方法求出的通 解是一样的，过程稍有一点区别而已-23-例2 解线性方程组解对系数矩阵施 行初等行变换-24-即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.-25-所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为-2
8、6-例2设 , 是 的两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是-27-设 ,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论重要结论推论推论3 3-28-且线性无关，则_是AX=O的基础解系。(2),(3)则_可为AX=O的基础解系。(4)练习练习(1)(2)-29-例3证明设 , 首先证明利用这一结论证重要结论重要结论-30-例4求一个齐次方程组, 使它的基础解系为记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知的 A 放在右边, 转置,只需解然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基础解系设所求的齐次方程组为 , 则取即可.解第四章第四章线性方程组的解的结
9、构线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理-32-4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解, 而其对应的齐次方程组的基础解系为这里-33-性质性质(1 1) 设 都是(1)的解,则是(2)的解.(2 2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解.设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x是 (2)的解,从而存在
10、 使得又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。-34-定理定理4.3.14.3.1设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为例5解-35-在对应的齐次方程中取得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解-36-设是非齐次方程组 Ax=b 的解, 则是 Ax=0 的解是 Ax=b 的解例6-37-例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且求该方程组的通解.解 取 , 则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1故非齐次方程组的通解为-38-自学书P.144-145 例2、3、5。第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理-40-4.4 线性方程组在几何中的应用
