2011-2012-1-《几何与代数》期中试卷(答案)

第 1 页 共 3 页 北 京 交 通 大 学北 京 交 通 大 学 2011-2012 学年第一学期《几何与代数》期中考试答案 2011-2012 学年第一学期《几何与代数》期中考试答案 一．填空题（本题满分 30 分，共 10 道小题，每道小题 3 分，少填、多填或填 错均不得分） 1．若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于 _____0_______． 2．设 A 为 3 阶方阵, 数 =2, |A| =3, 则|A| =__-24____． 3．设BA,为同阶可逆矩阵，则12    OBAO=   OABO1 211 ． 4．设若方程组AX=0有非零解, 则AX=β(≠0)的解可能为_无解或无穷多解; 5．设A，B为n 阶矩阵，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，且1)( nAR，则)(BR=_n-1___． 6．设n阶矩阵A满足023IA，则1)(IA=IAA2． 7．设123123123123(,,), (,24,39)AB     如果|A|=1, 那么 |B| = ____2______． 8．若齐次线性方程组 . 03 , 0, 02zxzaxzyx存在非零解，则系数a=31． 9．已知点)3,2 ,1 (1P，)1 , 4,2(2P，)5 , 3,1 (3P，)3,2, 4(4P，则321PPP的面积为265；四面体4321PPPP的体积为35. 10. 已知三个非零矢量 a， b， c中任意两个都不平行， 但  ba与 c平行，  cb与 a平行，则 cba 0. 二．应用题 11. （本本题 10 分）计算n阶行列式 第 2 页 共 3 页 nnnn1100000220000111321= 2!111nn12. （本本题 12 分）用向量方法证明直角三角形的勾股定理． 证明：必须用向量方法，例如用到向量内积。

13． （本本题 12 分）设    100210021 A，求矩阵B，使1*ABBA． 解：由1*ABBA，得1)*(AIAB， 得IAIAB )*(，则1)(AIAB1)(AI …6 所以，210021 21021 21 21B． …12 14． （本本题 12 分）问常数k取何值时, 方程组 4243212 321321xxxkxkxxkxxx有唯一解，并求出该解． 解：., 41,041有唯一解且即时当kkAkkA…4 1)2(1kkkx，1)2(42kkkx，123kkx． …12 15．（本本题 12 分） 已知平面：01432zyx， 直线   093440632:zyxzyxL，求在平面上，过直线L与平面的交点，且与直线L垂直的直线方程 . 解：计算直线L与平面的交点为) 1 ,11,14(A， … 3 第 3 页 共 3 页 则过A点与直线L垂直的平面方程为 0) 1(4)11(2)14(5zyx … 9 所求直线方程为   09642501432 zyxzyx． … 12 16． （本本题 12 分）设平面过点)2 , 1, 3(A，垂直于单位向量s，向量s的方向角依次为32,4,3 ，是求点)2, 1, 1 (B到平面的距离. 解：平面的法向量为)21,22,21(… 5 则平面的方程为 0)2() 1(2)3(zyx … 9 所求点)2, 1, 1 (B到平面的距离为 1d ． … 12 三．附加题（本本题 10 分） 17．设同阶方阵A和B满足IAAT和IBBT，且BA，试证0 BA． 证明：证明：由已知可知 BABBBAEBAAABAATTTTTT BBABABBABTTTT． …5 由IAAT和IBBT，得A和B的行列式为1． …8 再由BA，不妨设1A，则1B  ． 则 BABA，故0 BA． …10 。