《2010-2011学年高中数学第3章空间向量与立体几何空间向量的数量积运算同步精品学案新人教a版选修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010-2011学年高中数学第3章空间向量与立体几何空间向量的数量积运算同步精品学案新人教a版选修2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1331.31.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算知识点一知识点一 求两向量的数量积求两向量的数量积 如图所示，已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a，求.AB OC 解 由题意知 | | = | | = | | = a，且，= 120， AB ACAOAB AO，= 120，AB CA =（ ）AB OCAB OA CA = ,AB OA AB CA = a2cos120a2cos1200【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如， 60时， ， 120.AB ACAB CA已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E 为 AB1的中
2、点， F 为 A1D1的中点，试计算：（1） ；BC 1ED （2） ；BF 1AB（3） .EF 1FC 解 如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.AB ADAA1（1） = b （c a ）+b= | b |2 = 42 = 16 .BC 1ED 1 2(2) = （c a +b ）（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.BF 1AB1 2（3） = (ca) b( ba) (abc)( ba) |a|2 |b|22.EF 1FC 12121212121214知识点二知识点二 利用数量积求角利用数量积求角2如图，在空间四边形 OA
3、BC 中， OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求 OA 与 BC 所成角的余弦 值解 . 因,BCACAB 所以 = OA BC OA AC OA AB =|cos ，| | | | cos , OA ACOA AC OA AB OA AB =84cos135 86cos120 16 224, 所以cos,=.OA BC OABC|OA|BC|.2416 28 532 25即 OA 与 BC 所成角的余弦值为.32 25 【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可 转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也 可能互补 在二面角
4、 l 中，A，B，C，Dl，ABCD 为矩形，P，PA， 且 PAAD，M、N 依次是 AB、PC 的中点 (1)求二面角 l 的大小； (2)求证：MNAB； (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 (1)解 PA，l PAl，又ADl，PAAD=A， l平面 PAD，lPD， 故ADP 为二面角 -l- 的平面角， 由 PA=AD 得ADP=45. 二面角 -l- 的大小为 45.（2）证明 ，PC PDDC ()，PN12PC12PD12DC12ADAP12DC ，ANPNPAPNAP，AN1 2AD12AP12DC = MN ANAM1 2AD12AP12DC12DC3= ，A
5、DAB，APAB1 2AD12AP 0，0，ADAB APAB MNAB. (3)解 设 APa，由(2)得 MN 1 2AD12AP a2，AP AN1 2ADAP12APAP12|a，AP AD| |a，MN (f(1,2)o(AD,sup6()f(1,2)o(AP,sup6()214AD214AP222 cos，AP MN |APANAPAN 22即异面直线 PA 与 MN 所成角为 45.知识点三知识点三 利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系如图所示，m，n 是平面 内的两条相交直线如果 lm，ln，求证：l . 证明 在 内作任一直线 g，分别在 l，m，n，g 上取非零向量
6、 l，m，n，g. 因为 m 与 n 相交，所以向量 m，n 不平行 由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使 gxmyn. 将上式两边与向量 l 作数量积， 得 lgxlmyln. 因为 lm0，ln0，所以 lg0, 所以 lg.即 lg. 这就证明了直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线， 所以 l. 【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即 证明两向量数量积为零 已知：在空间四边形 OABC 中，OABC，OBAC，求证：OCAB.证明 OABC，OBAC，= 0，= 0.OA BC OB AC (+) ( + )OCAB OB BC ACCB
7、 = OB ACOBCBBCACBCCB= ()OB CBBCACCB4= ()0，OB CBBCAB BCAB BOBCAO ，OCAB.OCAB课堂小结课堂小结： 空间两个向量 a，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即： ab|a|b|cosa，b ，这里a，b表示空间两向量所成的角(0a，b)空间向 量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题， 可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用 abab0 证线线垂直(a，b 为非零向量)(2)利用 ab|a|b|cosa，b ，cos，求两直线的夹角(3)利用|a|2aa，求ab|a|b| 解
8、有关线段的长度问题一、选择题 1若 a，b 均为非零向量，则 ab|a|b|是 a 与 b 共线的( ) A充分不必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案 A 解析 ab|a|b|cosa，b|a|b| cosa，b1a，b0， 当 a 与 b 反向时，不能成立 2已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a3b|等于( ) A. B.710C. D413答案 C 解析 |a3b|2(a3b)2 a26ab9b216cos60913. 3对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是( ) A若 ab0，则 a0 或 b0 B若 a0，则 0 或 a
9、0 C若 a2b2，则 ab 或 ab D若 abac，则 bc 答案 B 解析 A 中若 ab，则有 ab0，不一定有 a0，b0. C 中当|a|b|时，a2b2，此时不一定有 ab 或 ab. D 中当 a0 时，abac，不一定有 bc. 4已知四边形 ABCD 满足：*60，0，0，*60，则该四边形为( )OCBCBCCDCDDADAOCA平行四边形 B梯形 C平面四边形 D空间四边形 答案 D 5已知 a、b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则 ca0 且 cb0 是 l 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要
10、条件5答案 B 二、填空题 6已知向量 a、b 满足条件：|a|2，|b|，且 a 与 2ba 互相垂直，则 a 与 b 的夹2角为_ 答案 45 解析 因为 a 与 2ba 垂直，所以 a(2ba)0. 即 2ab|a|20，所以 2|a|b|cosa，b|a|20，所以 4cosa，b40cosa，b，222 所以 a 与 b 的夹角为 45. 7. 已知线段 AB,BD 在平面 内,ABD=120,线段 AC,如果 AB=a,BD=b,AC=c,则| |为_CD 答案 a2b2c2ab解析 |2|2CD AB BDAC222222a2b2c22abcos60AB BDACAB BDAB
11、ACBDACa2b2c2ab.|.CD a2b2c2aba2b2c2ab8已知|a|3，|b|4，mab，nab， a，b135，mn，则2_.答案 32 解析 由 mn0，得(ab)(ab)0，列方程解得 .32 三、解答题9. 如图，已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 C1D1的中点，试求向量与11AC所成角的余弦值.DE解 设正方体的棱长为 m，a，b，c，AB ADAA1则|a|b|c|m. abbcca0.又ab，11ACA1B1B1C1AB ADc a.DEDD1D1EDD112D1C112 (ab)(c a)11ACDE12acbc a2 ab a2 m2.121212126又| |m，|m，11AC2DE2cos ， = 11ACDE1111|ACDEACDE.12m22m52m1010 10已知在平行六面体 ABCDABCD中， AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求 AC的长(如图所示)；(2) 求 与的夹角的余弦值AC AC解 (1)= + + ,AC AB ADAA|2 = (+ + )2AC AB ADAA=|
