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1、第五章定积分的应用 一.定积分的微元法 二.定积分在几何上的应用三.定积分在经济分析上的应用第一节 定积分的微元法 第五章 定积分的微元法 复习（如图，求曲边梯形的面积）1) 大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和.4) 取极限. 令则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示为1、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x)
2、有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;微元法2 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法成为微元法 (或元素分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积第二节5.2.1、 平面面积的计算定积分在几何上的应用 第五章 5.2.1、平面图形的面积(1) 设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,若
3、 y = f (x)在 a , b 上不都是非负的，则所围成图形的面积为（2）所围成的图形的面积及直线由连续曲线)( ,babxax=)，(),(xgyxfy=)(xf)(xg面积微元（3）(4) 如所示图形面积为 所围图形的面积 . 解: 例1. 求由正弦曲线例2. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解: 由得交点面积微元平面图形的面积类似地例5.2.2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有例5.2.3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有其中因此由定积分的计算，得所以5.2.2、已知平行截面面积函数的立体
4、体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有例5.2.4. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程则(利用对称性)例5.2.5. 计算高为h、底半径为r 的正圆锥体的体积 。 解: 如图，建立直角坐标方程则直线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 任取截面， 则体积元素为所以内容小结1. 平面图形的面积直角坐标方程2. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积 绕 x 轴 :3. 经济方面的应用作 业 P246 1（1),(2);(8) 5; 7；例5.2.6. 求由曲线解: 作图，所围成的图形分别 绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积 。求交点。得交点：且有则绕x轴旋转而成的旋转体的体积则绕y轴旋转而成的旋转体的体积
