2-2连续时间傅氏变换

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1、第二节 连续时间傅里叶变换狄里赫利条件在一个周期内，周期函数(1) 连续且只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点；(3) 绝对可积。满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数线性组合”的无穷级数。Dirichlet (德)(1805- 1859)傅里叶级数展开三角函数集：复指数函数集：正交函数集如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则 周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数” 和“指数形式的傅里叶级数”。它们是傅里叶级数的两种不同表示形式。Fourier(法)（1768-1830)测试教研室 张玉萍 2.2 周期信号的频谱(spectr

2、um)分析傅立叶级数（FS ）一、 三角函数形式的傅立叶级数式中 ：, n 取正整数,设周期函数f(t)的周期为T1，若满足狄氏条件 展开成展开成三角函数三角函数的无穷级数形式的无穷级数形式根据正交函数的正交特性，可得：根据正交函数的正交特性，可得：系数计算系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数 ，简称为傅里叶系数。信号的基 波、基频同频率合并初相位a，bc，d测试教研室 张玉萍1) 若f(t)为偶函数,则f(t)cosnw0t为偶函数，f(t)sinw0t为奇函数，bn=0，则展开式只含直流项和余弦项；,只含正弦项。2) 若f(t)为奇函数,则f(t)cosnw0t为奇函数，3) 频谱

3、图以n0为横坐标，以Cn或n为纵坐标所作的图称为频谱图(spectrogram)。Cn n0称为幅频图（谱）(magnitude spectrum)，谱线。 n n0称为相频图(phage spectrum)。 1基频， n次谐波Ansin(n0t+n)，n=2，二次谐波，n=3，三次谐波。频谱图的概念复指数形式的FS系数计算方法见展开成展开成复指数函数复指数函数的无穷级数形式的无穷级数形式设周期函数f(t)的周期为T0二、 复指数形式的傅立叶级数注：复指数形式与三角函数形式是同一个函数的两种不同表示方法。利用欧拉公式，将三角函数转换复指数形式二、 复指数形式的傅立叶级数 利用欧拉公式，将三角

4、函数转换复指数形式：则：FnF-n8若令 则：可以合写成: 若写成 ： 则 复指数形式的傅立叶级数。9三角函数FS与复指数FS的系数间的关系Fn的性质共轭对称性周期信号的FS偶周期信号的FSFn是偶对称的实数序列，FS系数只有直流分量和余弦项。奇周期信号的FSFn是奇对称的纯虚序列，FS系数只有正弦项。积分项为奇函数积分项为奇函数傅里叶频谱周期信号的傅里叶频谱特点：(1) 仅在一些离散频率点(nf1)上有值。(2) 离散间隔为(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度 。(4) 信号的功率为FS谱FS幅度谱FS相位谱把傅里叶级数表示式的两边平方，并在一个周期内进行积分，再利用三角

5、函数及复指数函数的正交性，可以得到周期信号f(t)的平均功率P与傅里叶级数有下列关系：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量 有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。上式被称为：帕斯瓦尔方程周期信号的FS2.2 周期矩形脉冲信号的FS谱线包络线为Sa函数谱线包络线过零点确定方法：频谱谱线的间隔为周期矩形脉冲信号:一 、展开成三角函数形式的FS二、展开成复指数形式的FS测试教研室 张玉萍同理：可求得 解：-TT一 、展开成三角函数形式的FS测试教研室 张玉萍 测试教研室 张玉萍AnE/200n0n0/2-/22040601208010060801004020/T=1/2时周期矩形脉冲的

6、频谱n测试教研室 张玉萍结论：1）周期信号各谐波频率是各基频的整数倍，谐波性；2）频谱是离散的，离散性； 3）谐波幅值随谐波次数增高而降低，收敛性；4）各谐波之间有严格的相位关系。P29，图2-30测试教研室 张玉萍二、展开成复指数形式的傅立叶级数解：复指数形式：Fn是复数，相位：测试教研室 张玉萍ncnE/400-n0-120-90-60-30306090120120906030-30-60-90-120/T=1/4时周期矩形脉冲的复频谱在频域，能量主要集中在第一个零点以内带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关 。实际上，在允许一定失真的条件下，可以要求一个通信系统只把 2/ 频率范围内

7、的各个频率分量传送过去，而舍弃2/的分量。这样，常把=02/这段频率范围称为矩形信号 的频带宽度，简称带宽。P29，图2-30测试教研室 张玉萍复频谱的特点： 1）幅频谱是偶函数，对称于纵坐标；2）相频谱是奇函数，对称于原点；3）谱线增加一倍，谱线高度却减少了一半 。例2-5 求出复指数信号 的频谱 n复傅立叶系数为 23例2-5续n仅在 处有幅度为1的分量，说明复指 数信号是正弦信号的一种表现形式 24测试教研室 张玉萍例2-6 求出信号 和 的复频谱 解：n00-0余弦：Fnn00-0正弦：|Fn|测试教研室 张玉萍五、周期信号的功率 由三角函数的正交性:测试教研室 张玉萍三、周期信号的功

8、率由复指数函数的正交性:帕斯瓦尔定理复指数函数 的正交性测试教研室 张玉萍四、傅立叶有限项级数近似傅立叶级数只有n为无穷时才精确地相等： 若取2N+1项： 均方误差为： 测试教研室 张玉萍例1. 设 f (t) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数将 f (t) 展成傅里叶级数. 测试教研室 张玉萍测试教研室 张玉萍测试教研室 张玉萍项数越多，波形合成越接近原函数，误差越小；低频分量组成原信号的主体，高次谐波幅值较 小，波形变化越激烈，高频分量越丰富；吉伯斯现象(Gibbs)：f(t)不连续，当N越大，合 成波形的峰起越靠近f(t)的不连续，N足够大时，该 峰起

9、越趋于一常数，约为跳变值的9%，从不连续点 开始震荡衰减。误差与项数的关系：测试教研室 张玉萍测试教研室 张玉萍2.2 非周期信号的频谱(spectrum)分析傅立叶变换（FT）工程上非周期信号的,如何作频谱分析，其基本思想是将 周期信号的频谱分析推广到非周期信号的频谱分析。1、傅立叶变换的定义 定义：周期信号f(t)可展开： 周期信号的频谱谱线的间隔为：测试教研室 张玉萍当 时，一般为复数，即：表示频谱密度的幅度谱，即各频率分量的相对大小 ：表示频谱密度的相位谱，即各频率分量的初始相位。测试教研室 张玉萍条件：1. 狄氏条件2. 绝对可积 注：对于条件2 如单位阶跃、正弦、线性函数不可满足，

10、工 程上一般t0:a1)等效于在频域中扩张；反之，信号在时域 中扩展(a1)则等效于在频域中压缩。对于a=-1，则说明信号在时 域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。信号波形压缩a倍，则信号随时间的变化会加快a倍，所以它所包含 的频率分量也要增加a倍，即频谱被展宽a倍。同时，根据能量守恒 原理，各频率分量的大小必然要减小a倍。等效脉宽等效带宽对任意形状的对任意形状的f(t)f(t)和和F(F( ) ) 假设假设t t时时，f(tf(t) ) 0 0， 时，时，F(F( ) ) 00f(t)与F()所覆盖的面积等于F()与 2f(t)在零点的数值F(0)与2f(0)。设f(0)与F(0)分别

11、等于各自对应曲线的最大值，则定义信号的六、时移特性幅度谱不变，只在相位谱幅度谱不变，只在相位谱 上叠加一个线性相位上叠加一个线性相位 与尺度变换结合与尺度变换结合例2-11即：时移对应 相移 。 测试教研室 张玉萍解：单脉冲f0（t）的频谱为 ：三脉冲信号时域函数为：由时移性：tf(t)/2T例2-8：求图2-8所示三脉冲信号的频谱。测试教研室 张玉萍例：求N=2n+1个矩形脉冲信号的频谱。解：时域： ， 时移性质：测试教研室 张玉萍七、频移特性与尺度变换结合与尺度变换结合频谱搬移频谱搬移时域信号乘 后，频域中 频谱右移 ，频谱被搬移 。 利用欧拉公式，通过乘以正 弦或余弦信号，可以达到频 谱

12、搬移的目的。例2-12测试教研室 张玉萍例2-12（书P51）：调制处理即是原始信号与一个余弦 信号相乘，在频域的变化。解：可用图形解释。若与一个正弦信号相乘：八、微分特性九、积分特性时域微分频域微分时域积分频域积分推导和例子推导和例子测试教研室 张玉萍1.时域微分性时域： ，则： 例：求冲激偶函数的傅立叶变换。推广：求导：解：冲激偶：2.频域微分若： ，则：证：逆变换 测试教研室 张玉萍二次求导：例：已知三角脉冲信号 ： 如图所示，求其频谱。解：一次求导：测试教研室 张玉萍注：若f(t)中有直流信号分量（常数项）求导后 为，逆运算中失掉这一直流分量，即：如果信 号的均值为零，利用微分性质可以

13、求原信号的傅 氏变换。若不为零时，宜用积分性质求解。测试教研室 张玉萍则 ：证：由卷积定理 ：1.时域积分 若：测试教研室 张玉萍若用微分性质： 与上面的结果相比，丢失：U（t）的平均值不为0，用微分性质求不合理。则 ：例：利用时域积分性质求单位阶跃函数的傅立叶变换解：积分性质2.频域积分 若：十、卷积定理时域卷积定理频域卷积定理十一、时域相关性定理若函数f2(t)是实偶函数，则函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对。自相关的傅里叶变换相关性定理与 卷积定理一致 。若 ： 证明（书P87)测试教研室 张玉萍卷积定理(convolution theorem)若： 1.时域卷积： 2.

14、频域卷积： 证：1 .F = 2.证明类似卷积定义测试教研室 张玉萍例：利用卷积定理求三角脉冲信号： 的频谱。 解：卷积定理： 由第一章知：两个矩形卷积的结果是一个三角函数。不再证明。所以， tf(t)E测试教研室 张玉萍时延函数的卷积：十二、帕斯瓦尔定理连续信号量化编码采样采样信号数字信号采样过程方框图采样过程方框图采样脉冲采样脉冲f (t)fs (t)p (t)由上图可见，连续信号经采样作用变成采样信号以后，往往 需要再经量化、编码变成数字信号。这种数字信号经传输， 然后进行上述过程的逆变换就可恢复出原连续信号。基于上述原理所构成的数字通信系统在 很多性能上都要比模拟通信系统优越。2.8

15、采样信号的FT采样定理1.时域采样 a.矩形脉冲采样； b.单位冲激采样；2. 频域采样；抽样信号的FT 信号理想抽样前后频谱的变化原始信号及其频谱原始信号及其频谱冲激序列及其频谱冲激序列及其频谱抽样信号及其频谱抽样信号及其频谱抽样间隔 发生变化时域离散时域离散 频域周期频域周期按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是 周期函数（时域离散频域周期），是原函数傅里 叶变换的Ts分之一按周期2/Ts所进行的周期延拓。结论：要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢 复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的信号是频带受限的； （2）采样率至少是信号最高频率的两倍采样率至少是信号最高频率的两倍。间间 矩矩抽样定理几个概念奈奎斯特频率是信号频率的上限奈奎斯特频率是信号频率的上限从抽样信号恢复原始信号的方法理论上工程上将抽样信号通过截止频率为将抽样信号通过截止频率为 、 放大倍数为放大倍数为TsTs的的低通低通滤波器滤波器。测试