曲线拟合的最小二乘法

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1、曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法2 2 什么是最小二乘法什么是最小二乘法3 3 最小二乘法的求法最小二乘法的求法1 1 曲线拟合的问题：曲线拟合的问题： 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,n)处的值yi,便 可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由 实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量 误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有 的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插 值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦 琐，缺乏实用

2、价值。希望从给定的数据(xi,yi)出发,在某个函数类中寻求一个近 似函数(x), 来拟合这组数据。要求所得的近似曲线能最好的 反映数据的基本趋势，如图所示。一、问题的提法二、目的1 曲线拟合的问题曲线拟合示意图也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下 方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部 较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数 与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小.三、方法曲线拟合方法四、曲线拟合的问题设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数(x)，使之“最好” 地逼近f(x),而不必满足插值原则。这时没必 要取(

3、xi) = yi, 而要使 i= (xi)yi 总体上尽 可能地小。这种构造近似函数 的方法称为 曲线拟合,称函数y=(x)为经验公式或拟合 曲线。 曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度 量达到总体上尽可能地小。若令 并称 为残向量（残差）。 用去拟合的好坏问题变 成残量i的大小问题 一、基本概念：残差2 2 什么是最小二乘法什么是最小二乘法常见做法：u使 最小较复杂u使 最小u使 最小“使 i= (xi) yi 尽可能地小”有不同的准则最小二乘原则二、残差的选取方法（原则）三、最小二乘原则（方法）1、定义：使“偏差平方和最小”的

4、原则称为最小二乘原则。2、定义:按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二 乘法。本章主要讨论线性最小二乘问题，基本提法是：在某个函数类=0(x),1(x),n(x)来寻求一个函数(x) 。 是待定常数， 使其满足 3、线性最小二乘问题的提法式中， 是函数类中任一函数。3.2.5满足上述关系式的函数称为上述最小二乘问题 的最小二乘解。问题转化为求待定系数在实际问题中如何选择基函数是一个复杂的问题，一般要根据问题本身的性质来决定。那么通常可取的基函数有多项式 、三角函数、指数函数、样条函数等。 如何求解最小二乘问题？1、确定函数类（原则:根据实际问题与所给数据点的变化规律）;2、求解方程：有

5、多元函数极值必要条件有对任意函数h(x)和g(x)引入记号3 3 最小二乘法的求法最小二乘法的求法一、求解的基本原理：极小值原理一、求解的基本原理：极小值原理二、定理（最小二乘解的存在唯一性定理）二、定理（最小二乘解的存在唯一性定理）三、特例：（代数多项式拟合）三、特例：（代数多项式拟合）如取就得到代数多项式 例6.7.1（P149）例6.7.2（P150）四、应用举例说明最小二乘法解决实际问题的具体步骤和某些技巧。例1某种铝合金的含铝量为x(),其熔解温度为y（0C），由实 验测得x与y地数据如下表左边的三列。试用最小二乘法建立x 与y的经验公式。解：1、将数据进行描图观察； 2、确定拟合曲

6、线的形式。这里根据所描图形分析，拟合曲线接 近于一直线，故可用线性函数线性函数进行拟合这组数据； 3、建立法方程组； 4、解法方程组； 5、检验拟合值与实测值之间的偏差（均方误差和最大误差均方误差和最大误差）：法方程组对应的代数方程组：解方程组得：所得的经验公式：可令 待定 例2：在某化学反应里，测得生成物浓度y（%）与时间t（min ）的数据见表3-3，试用最小二乘法建立t与y之间的经验公式 。 表3-3t12345678 y4.006.408.008.809.229.509.709.86t910111213141516 y10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5

7、810.60解 ： 将已知数据点描绘在坐标纸上，可以看出，拟合曲线y=(t)应具有下列特点：（1）曲线随着t的增加而上升，但上升速度由快到慢。（2）当t=0，反应尚未开始，即y=0；当t时，y趋于某一常数。故曲线应通过原点（或者当t0时以原点为极限点），且有一水平渐近线。具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，可以获得不同的拟合曲线与经验式。 下面提供两种方案。 方案1 设想y= (t)是双曲线型的，并且具有下 面的形式在这里，我们通过变量替换将它转化为关于待定参数是线性函 数。 将式改写成 于是，若引入新变量,则式就是问题就归结为:求形如y =a+bt 的最小二乘解。 参照例1的做法，解

8、法方程组即得 a=80.6621，b=161.6822代入式，得经验公式 方案2 设想y= (t)具有指数形式 (a0,b0) 对上式两边取对数 此时若引入变量并记A=lna,B=b,则上式就是根据数据表，求形如 的最小二乘解。参照方案1，写出相应的法方程组并解之，得 A=4.4807, B=1.0567 于是故得另一个经验公式在以多项式作为拟合 函数（曲线）时，最 小二乘法的计算机实 现步骤为右框图。五、程序化3.3.23.3.23.3.2分析: 1、实际问题的解决中测得的数据并不都是等精度、 等地位的。显然，对于精度高、地位重的数据应该以 足够的重视，在计算时，给以足够的、更大的权重， 在

9、这种情况下，求给定的数据的拟合曲线，就要用加就要用加 权最小二乘法。权最小二乘法。2、利用最小二乘法原则上解决了最小二乘法意义下 的曲线拟合问题，但在实际问题的解决时，n往往很 大，法方程组往往是病态的，因而给求解带来了一定 的困难，为了解决这一问题，近年来，产生了一些新 方法来克服这一困难，利用正交函数（正交多项式） 作多项式的拟合。小结曲线拟合的最小二乘法的基本原理、具体的操作技巧；利用最小二乘法作代数曲线（多项式函数：线性和抛物型）拟合的基本方法；均方误差和最大偏差的计算。注:可化为线性拟合的非线性拟合有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系 表曲线拟合方程 变换关系 变换后线性拟合方程