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1、1 “画龙点睛”数学专题讲解（三）：“画龙点睛”数学专题讲解（三）： 洛必达法则失效的情况及处理方法洛必达法则失效的情况及处理方法 【本章定位】【本章定位】 此部分内容不需要特别掌握， 关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！此部分内容不需要特别掌握， 关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！ 。 洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法， 我们在使用它时， 一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim)()(limxgxf xgxfaxax 的三个条件： （1）0)(lim xf ax（或） ，0)(lim xg ax（或） ；（
2、2）)(xf和)(xg在ax 点的某个去心邻域内可导；（3）Axgxfax)()(lim （或） 。 其中第三个条件尤其重要。 其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通 过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利 用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。 而对于极限问题xxxxx0dsin1lim 来说，因为xxgxfxxsinlim)()(lim 不存在（既不是某个常数，也不是无穷大） ，而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效
3、，绝对不能因 此而说本问题之极限不存在。 实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。 【问题【问题 1】求极限xxxxx0dsin1lim 。 【解】【解】对于任何足够大的正数x，总存在正整数n，使) 1( nxn，也就是说总存在正整数n，使rnx，其中 r0。这样x就等价于n，所以考研论坛-考研人的精神家园b b s .k a o y a n .co m考研论坛2 rnnxxxxrnxxx00dsin1limdsin1limrnnnnxxxxrndsindsin1lim 022limdsindsin1lim 00 rnRnttxxnrnnrn， 这里前面一项
4、注意到了函数xsin的周期为，而后面一项作了令tnx的换元处理。最后注意到积分值R的有界性（20 R） 。如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况， 则洛必达法则还有第二种失效的情况： 第三个条件永 远也无法验证。 【问题【问题 2】求极限（1）xxx331lim； （2）xxxxx eeeelim 。 【分析与解】【分析与解】 （1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到 xxxx xxxxx333232331lim ) 1(lim1lim ， 可知洛必达法则失效，处理的方法是 111lim1lim1lim333 3333 xxx
5、xxxxx。 （2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到 xxxxxxxxxxxxxxx eeeelimeeeelimeeeelim ， 可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘xe，得到1e1e1limeeeelim22 xxxxxxxx。 【问题【问题 3】求极限100102elimxxx。 【分析与解】【分析与解】这是00型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可考研论坛-考研人的精神家园b b s .k a o y a n .co m考研论坛3 知洛必达法则的第三个条件 10210?10010200elimelim22xxxxxx完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的方法是作换元，令21 xt ，这样就有 0elimelim50100102 ttxxt x。 还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例： 【例 1】求极限)3(211ln3)76(sin6lim 2202xxxxxxxexx问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。 考研论坛-考研人的精神家园b b s .k a o y a n .co m考研论坛
