线性系统能观性能控性判定

《线性系统能观性能控性判定》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性系统能观性能控性判定（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。本章的内容为：1. 引言能控性、能观测性的基本概念2. 能控性及其判据3. 能观测性及其判据4. 离散系统的能控性和能观测性5. 对偶原理6. 能控标准形和能观测标准形7. 能控性、能观测性与传递函数的关系8. 系统的结构分解9. 实现问题10. 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性3.1 引言首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 为状态变量 ，即： 。 电桥平衡时，不论输入电压 如何改变，不

2、随着 的变化而改变，或者说状态变量不受 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。显然，当电桥不平衡时 ，该电路的状态是能控的。例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 变量，即： ， ，电路的输出 为C2上的电压，即 ，则电路的系统方程为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有一般情况下，系统方程可以表示为（1）状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。系统状态转移矩阵为系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。例3-3 电路如下图所示。选取 为输入量， 为输出量，两个电

3、 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为系统状态方程的解为为了简便起见，令则从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差值 。当 ，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测 去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。3.2 能控性及其判据3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据1. 能控性定义线性定常系统的状态方程为（2）给定系统一个初始状态 ，如果在

4、的有限时间区间 内，存在容许控制 ，使 ，则称系统状态在 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。说明：1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）2）如果在有限时间区间 内，存在容许控制 ，使系统从 状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ，则称系统是状态能 达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控 性和能达性是等价的。3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。（

5、3）5）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰 时， 不会改变 系统的能控性。 （4）2. 能控性判据定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的nn维格拉姆矩阵满秩（5）（证明参见教材84页）（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵 ，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的nnr 维能控性矩阵满秩。（6）（7）证明应用凯-哈定理，有上式代入（3）式 （8）于是（9）如果系统能控，必能够从（9）式中解得 ， ， ， 。这 样就要求（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）定理3-3 （

6、PBH判别法） （2）式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 ，都有（10） （证明略）（可以应用定理3-2证明，详见教材87页）（11）定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 互异， 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全为零的行。例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解 根据定理3-4， 系统（1）不能控 ； 系统（2）能控。且 ， ， 定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值， 、 、 分别为 重、 重、 重、 重。 经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能控的充分必

7、要条件是矩阵 中与每一个约当子块最下面一 行对应行的元素不全为零。（12）例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此 ，能控性判据同样可以判断能达性。3.2.2 线性时变系统的能控性判据（13）线性时变系统的状态方程为定理3-6

8、状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得函数矩阵 的n个行在 上线性无关。（证明略）定理3-7 状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。（14）（15）定义：（16） 当定理3-8 如果线性时变系统的 和 的元是(n1)阶连续可微 的。如果存在一个有限的 ，使得（17）则系统在 是能控的。例3-8 线性事变系统方程为 ，初始时刻 ，试判别系统的能控性。解而所以，能控。3.3 能观测性判据3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据1. 能观测性定义 （18）线性定常系统方程为如果在有限时间区间 （ ）内，通过观测 ，能够惟 一地确定系统的初始状

9、态 ，称系统状态在 是能观测的。如果 对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。 说明：1） 已知系统在有限时间区间 内的输出 ，观 测的目标是为了确定 。 2）如果根据 内的输出 能够惟一地确定任意指定 状态 ，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测 性等价。3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。4）系统的输入 以及确定性的干扰信号 均不改变系统的 能观测性。2. 能观测性定理3-9 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格 拉姆能观性矩阵满秩，即 （19）（20）其中（证明见教材92页）（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态

10、转移矩 阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理3-10 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下 能观性矩阵满秩，即 （21）（22）证明 设 ， 系统的齐次状态方程的解为（23）应用凯-哈定理，有则或者写成由于 是已知函数，因此，根据有限时间 内的 能够 唯一地确定初始状态 的充分必要条件为 满秩。定理3-11（PBH判别法） 系统（18）为能观测的充分必要的条件 是：对于A 的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为n（24）例3-9 系统方程如下，试判断系统的能控性解不满秩，故系统不能观测。（由于以上判据很简单，因此最为常用）定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征

11、值 互异，经过非 奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是 矩阵中不包含元素全为零的列。例3-10 有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。（1）（2）解 根据定理3-12可以判断，系统（1）是不能观测的。系统（2 ）是能观测的。且 ， ， 定理3-13 如果（18）式描述的系统的A 阵具有重特征值，、 、 分别为 重、 重、 重。 经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能观测的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块第一列 对应的列，其元素不全为零。例3-11 如下线性定常系统试判别系统的能观测性。解 应用定理3-13可知，系统能观测。（定理（3-12）、定理（3-13）不仅可

12、以判断系统能观测性，而 且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能观测性的判据。虽然它 们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时 是等价的。2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的， 因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。3.3.2 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统方程为（25）定理3-14 状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时 刻 ，使得函数矩阵 的n个列在 上线性无关。定理3-15 状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时 间 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。定义（26）（2

13、7）定理3-16 如果线性时变系统的 和 的元是(n1)阶连续可微 的。如果存在一个有限的 ，使得（28）则系统在 是能观测的。3.4 离散系统的能控性和能观测性线性定常离散系统方程为（29）3.4.1 能控性定义系统（29）的任一个初始状态 ，存在 ，在有限时间区间 内，存在容许控制序列 ，使得 ，则称系统是状 态完全能控的。3.4.2 能控性判据（证明见教材96页）例3-12 线性定常离散系统状态方程为判断系统的能控性。（30）解所以系统能控。定理3-17 系统（29）能控的充分必要条件是能控性矩阵 的秩为 n，即 3.4.3 能观测性定义对于（29）式所描述的系统，根据有限个采样周期的 ，可以 惟一地确定系统的任一初始状态 ，则称系统是状态完全能观测 的。3.4.4 能观测性判据定理3-18 系统（29）能观测的充分必要条件是能观性矩阵 的秩 为n，即 （证明请参见教材97页）例3-13 线性定常离散系统方程为试判断系统的能观测性。解因此，系统能观测。3.4.5 连续系统离散化后的能控性与能观测性线性定常系统方程为（31）离散化后的系统方程为（32）其中