概率的定义及其确定方法

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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第1页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概 率.古典定义；几何定义.1.2 概率的定义及其确定方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第2页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法非负性公理： P(A)0;正则性公理： P()=1;可列可加性公理：若A1, A2

2、, , An 互不相容，则1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为样本空间，F 是由的一些子集组成的事件域，若A F ,实值函数P(A)满足:第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第3页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn= n!0! = 1.重复排列：nr选排列：1.2.2 排列与组合公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第4页1.

3、2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法组 合组合： 重复组合：第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第5页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注 意第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第6页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法加法原理完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推

4、，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种 不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种 方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方 法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第7页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法随机试验可大量重复进行.1.2.3 确定概率的频率方法进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，称 为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值)

5、.用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第8页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法古典概型 若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性:样本空间的元素(基本事件)只有为有 限个，即=1，2，n；(2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等 的，即 P(1)=P(2)=P(n).则称这类随机试验的数学模型为古典概型.则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数1.2.4 确定概率的古典方法第一章第一章 随机事件与概率随机

6、事件与概率YanbianYanbian University University第9页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),(正反反), (反正反), (反反正), (反反 反)此样本空间中的样本点等可能.2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)此样本空间中的样本点不等可能. 注 意第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第10页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法例1

7、.2.1六根草，头两两相接、尾两两相接求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第11页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概 率. 解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1)例1.2.2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第12页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定

8、义及其确定方法n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较)解：1) 先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能.2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能由此得所求概率为：例1.2.3第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第13页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法1.2.5 确定概率的几何方法几何概型若 可度量性可度量性样本空间充满某个区域，其度量(长度、面 积、体积)

9、为S； 等可能性等可能性落在中的任一子区域A的概率 ，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位 置无关，则事件A的概率为: P(A)= SA /S第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第14页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法几何概型的例子 例1.2.3 蒲丰(Buffon)投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第15页

10、1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法蒲丰投针问题(续1)解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 .形成x-平面上的一个矩形，其面积为： S = ( d )/2. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第16页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法A = “针与平行线相交” 的充要条件是:x ( l /2) sin .针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方 法求解得蒲丰投针问题(续2)第一章第一章

11、随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第17页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相 交的概率为: 2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线 相交，则频率为: n/N.用频率代替概率得： 2lN/(dn).历史上有一些实验数据. 的随机模拟蒙特卡罗（Monte Carlo）法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第18页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法蒲丰

12、投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意 投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角 形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1) 一个顶点在平行线上;2) 一条边与平行线重合;3) 两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零. 所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第19页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法解：记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边 ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交

13、的概率，则所求概率为p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知 Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d).因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得p =Pab+Pac+Pbc=(Pa + Pb + Pc)/2 =(a+b+c)/(d).第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第20页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法在单位圆内随机地

14、取一条弦，其长超过该圆内 接等边三角形的边长3的概率等于多少？这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜我 们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同 的答案！ 贝特朗奇论1根据几何学原理，圆内弦的长度 与弦到圆心的距离有关从图一可 以看出，当弦心距小于1/2时，这条 弦的长度大于三角形边长，所以这 样求出的概率为1/2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第21页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法2将弦的一段固定在等边三角形的 某一个顶点上，然后另一端绕着圆周 旋转可以在图二中发现，只有当另 一

15、端点位于上方的圆弧时，这条弦的 长度才会超过三角形的边长，由此可 得所求概率为1/33再来考虑一条弦的中点，根据图 三可以得出：只有当弦的中点位于半 径为1/2的小圆内部时这条弦的长度 才满足要求，同时因为这个小圆的面 积是大圆的1/4，所以所求概率也是 1/4第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率YanbianYanbian University University第22页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是 对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的 答案呢？其实这三种说法都是正确的但是它们的结果之 所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采 用了不同的等可能性假定在第一种方法中，我们默 认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；在第二 种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周 上是均匀分布的”；第三种方法默认的假