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1、西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制第二章作业：2.9, 2.15, 2.16 要求： 1） 2.9, 2.16采用手算 2）2.15采用MATLAB处理。要求给出源程序以及上机实验结果 3）作业上交时间：下周二 参考资料： 谷源涛，应启珩，郑君里. 信号与系统- MATLAB综合实验.高等教育出版社，2008.西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制解：根据式(2.26)有 例3 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周 期为 ，脉冲宽度为 ，如图所示。 2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制(2.36 )(2.38)(2.39)(2.37 )定
2、义则式（2.36）变为可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为由于 ，代入上式得2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制图2.17 周期矩形脉冲的频谱2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制通常将 这段频率范围称周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号 表示：(2.40)考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它 们的频谱变化的情形。2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制图2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系 脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带 中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉 宽减
3、小时，由式(2.39)可知，信号频谱幅值也越小。2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：图2.19 信号周期与频谱的关系 周期愈大，信 号谱线的间隔便愈小 。若周期无限增大， 亦即趋于无限大，原 来的周期信号变成非 周期信号此时，谱 线变得越来越密集， 最终谱线间隔趋近于 零，整个谱线便成为 一条连续的频谱。由 式(2.39)可知，当周 期增大而脉宽不变时 ，各频率分量幅值相 应变小。2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制周期矩形脉冲信号特点周期增大时，谱线变密，幅度减小；脉宽
4、减小时，带宽增加，幅度减小。周期 脉宽（脉冲宽度）带宽 谱线密度 幅度决定2.3 周期信号的频域分析 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制2.4 非周期信号的频域描述2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制设 为 区间上的一个周期函数。它 可表达为傅里叶级数的形式(2-1)式中(2-2)将式(2-2)代入式(2-1)得(2-3)2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制当 时，区间 变成 ，频率间隔 变为无穷小量，离散频率 变成连续频率 。 由式(2-3)得到(2-4)将式(2-4)中括号中的积分记为：(2-5)它是变量 的函数。2.4
5、.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制则(2-4)式可写为：(2-6)将 称为 的傅里叶变换，而将 称为 的逆傅里叶变换，记为：(2-7)2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制(2.8)(2.9)(2.10)若将上述变换公式中的角频率 用频率 来替代， 则由于 ，式（2-5）和（2-6）分别变为的物理意义与相同，仅单位不同。是复数，因而可以写成：从式(2.9)可 知，一个非周期函 数可分解成频率f 连续变化的谐波的 叠加。式中 是谐波 的系 数，决定着信号的 振幅和相位。2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制信号的幅
6、值谱密度，相位谱密度，实谱密度，虚谱密度反映了 信号的特定性质，利用各种不同谱图分析的信号的性质就称为 谱分析“谱”是什么意思？“谱”就是符号，图形的意思。对什么的图 形，符号？对频率的图形符号。2.4.1 傅里叶变换(能量谱，有理谱)西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制非周期函数 存在有傅里叶变换的充要条件： 1）在区间 上绝对可积，即 2.4.1 傅里叶变换2）为能量有限信号：3）在满足狄里赫利条件西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 例4 求图示单边指数函数的频谱。图2.21 单边指数函数 解：由式(2.8)有于是2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚
7、胥永刚制幅频谱相频谱图2.22 单边指数函数的频谱2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制例5 图所示为一矩形脉冲(又称窗函数或门函数)，用符号 表示：图 矩形脉冲函数(1)求该函数的频谱。解：2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制图2.24 矩形脉冲函数的频谱其幅频谱和相频谱分别为 ：(2)(3)可以看到，窗函数 的频谱是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个 弧度。(4)矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用 表示矩形脉冲函数则有： 2.4.1 傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制2.
8、4.2 傅立叶变换的性质线性 尺度变换性 奇偶性 时移性 频移性（亦称调制性） 卷积 时域微分和积分 频域微分和积分西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制1. 线性如果有则和2.4.3 傅立叶变换的性质证明：根据傅里叶变换的定义进行证明西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制例子：求下图波形的频谱+X1(f )X2(f )用线性叠加定理简化西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 2 时移性如果有则例 求下图所示矩形脉冲函数的频谱。2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 点位置所形
9、成。幅频谱和相频谱分别为则2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制3. 频移性(亦称调制性) 如果有则常数。时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号 的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于 处，另一半位于 处。2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制图2.33 的频谱 2.4.3 傅立叶变换的性质傅里叶变换的频移特性西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 4. 时间比例特性（尺度变换性） 如果有则对于实常数 ，有若信号 在时间轴上被压缩至原信号的 ，则其频谱函数在频率轴上将展宽 倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的
10、。（尺度变换性或时频展缩性）信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。 2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制窗函数的尺度变换2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 5. 卷积频域卷积如果有则时域卷积 如果有则式中 表示 与 的卷积。2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制卷积的图解 2.4.3 傅立叶变换的性质西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永
11、刚制2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换1. 单位脉冲函数 在时间内激发有一矩形脉冲p(t)的幅值为1/，面 积为1。当0时，该矩形脉冲p(t)的极限便称为单位 脉冲函数或函数。性质：(1)(2)西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 由函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得其中x(t)在t=t0时是连续的。 单位脉冲函数(t)的傅里叶变换 ：即：图2.37 (t)及其傅里叶变换 2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 2 时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对： 3 常数1的傅里叶变换对： 2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换西
12、华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 4 余弦函数余弦函数的频谱：正弦函数的频谱：欧拉公式：2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制正余弦信号的傅里叶变换2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 5 周期函数 周期函数x(t)的傅里叶级数形式：一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于x(t) 各谐波频率上的单位脉冲函数组成。x(t)的傅立叶变换为：式中(a)2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 例 求单位脉冲序列 的傅里叶变
13、换解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有对式(b)两边作傅里叶变换得 根据式(a)可得 亦即(b)西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制v一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一 个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为0=2/T，且各 脉冲分别位于各谐波频率n0=n2/T上，n=0, 1, 2, 。图 周期脉冲序列函数及其频谱 西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制2.5 随机信号描述2.5.1概述2.5.2 随机过程的主要特征参数2.5.3 功率谱分析2.5.4相关分析西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制2.5.1 概述 随机信号特点：- 具有不能被预测的瞬时值；
14、- 不能用解析的时域模型来加以描述；- 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 描述随机信号必须采用概率统计的方法：- 样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作 ； - 样本记录：在有限时间区间上的样本函数。- 随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为 2.5.1 概述西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制随机过程与样本函数随机过程的集 合平均统计特 征不是沿某单 个样本计算， 而是在集合中 某时刻t 对所 有样本函数的 观测值取平均 。按单个样本 的时间历程进 行平均的计算 称为时间平均西华大学机械学院胥 永
15、 刚胥 永 刚胥永刚制-均值、均方值、方差、概率密度函数、概 率分布函数和功率谱密度函数等。-均值：-均方值：对随机过程常用的统计特征参数： 这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集 中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。 分类： 平稳随机过程； 非平稳过程。2.5.1 概述西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 平稳随机过程 ：过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。2.5.1 概述对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样 本函数的时间平均统计特征等于该过程的集 平均统计特征，则该过程称为各态历经过程 。工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的 ；其中的许多都具有各态历经性。西华大学机械学院胥 永 刚胥 永 刚胥永刚制 均值 表示信号的常值分量。2.5.2 随机过程的主要特征参数对于一个各态历经过程 ，其均值 定
