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1、丘成桐教授美 國 哈 佛 大 學 數 學 系 教 授 香 港 中 文 大 學 數 學 講 座 教 授 香 港 中 文 大 學 數 學 科 學 研 究 所 所 長 菲 爾 茲 獎 得 獎 人 今日很高興的在這裏和公開大學的同學談 談我自己對數學服務社會的看法。公開大學這麼多年來訓練了許多有上進心 的青年，使我欽佩，在五十年代，除了香 港大學外，沒有一家政府承認的大學，中 文大學前身的崇基、新亞、聯合和當時的 浸會學院吸收了香港很多人材，當時無論 老師和學生都很窮苦，但是以後卻成為社 會的中堅份子。我想公開大學的學生也會 成為香港的人材，為二十一世紀的新中國 服務。這十多年來，香港、中國和整個亞洲
2、社會都 逐漸轉型，尤其是中國改革開放以後，香港 社會所需要的人材更多姿多采。亞洲各國要 與全世界的經濟、文化、科學接軌，而中國 大陸和日本會領導亞洲的發展，所以香港的 青年也應當訓練自己來適應這個趨勢。沒有 辦法迎接這個新時代來臨的青年恐怕要吃虧 。縱觀全世界大學訓練人材的最基本要求乃是 語文和數學，所有美國大學都看SAT的成績 ，而SAT中最基本的乃是這兩門學問的考試 。這為的是甚麼呢？語文訓練使我們能夠表達自己的意思，數學 訓練讓我們具有推理的能力，沒有這兩種能 力，我們實在很難說我們是具有文化氣息的 現代人。很多人對於數學不切實際的看法，以為數學 家都躲在象牙塔裏，不食人間煙火，這是極
3、為錯誤的看法。事實上，整個智識型的現代 社會極度需要經濟、工程、管理等等方面的 人材，而在現代化的前提下，這些人材都需 要相當程度的數學訓練。一般來說，數學訓練分兩個層次，一個層次 是在象牙塔裏的為了追求純真純美的研究， 表面上這些研究與實用毫無關係，從前我們 知道這些研究十多年或數十年後總會有大的 用場，但是近二十多年來，我們發覺純數學 和應用的距離愈來愈縮小距離了。數學的第二個層次就是在各行業上的應用， 這是今天演講的主題。二十一世紀的重要科學w訊息科學 w生命科學w能源科學w材料科學w環境科學w經濟金融科學它們之間的 橋樑、溝通 就是數學近年的科技發展 都需要很多數學的支援 醫學素描，生
4、物色素分佈(豹紋、虎紋)，DNA結構，量 子物理，材料科學，半導體，財經科學，大型晶體結 構，互聯網 Radon Transform, Diffusion Equation, Knot Theory, Gauge Theory, Mathematics Computation on Quantum Mechanics, Many Body Model, Inverse Problems數學研究對科學的貢獻美國政府Labor Dept. 關於 大學畢業生報告的一段話Other (non-mathematics) occupations that require extensive knowled
5、ge of mathematics include actuary, statistician, computer programmer, system analyst, system engineer, operation research analyst. A strong background in mathematics also facilitates employment in engineering, economics, finance, and physics.其他需要深入數學知識的行業包括精算 、統計師、程式編寫、系統分析、系統 工程、運籌分析等。而數學基礎良好往 往有助於
6、發展工程、經濟、財務及物理 等事業。美國政府Labor Dept. 關於 大學畢業生報告的一段話數學為基礎的多元發展 從事其他學科研究的，包括：電子計算、經濟、統計、財務、風險管理、 社科、哲學 還有從事非學術研究的各行業的 圖像壓縮數據保安數學與社會物流風險管理數據壓縮 (JPEG 2000)小波 (Wavelet) 壓縮如果 A 是平滑的，那麼 Di 就很小Si = A 的平滑部份Di = A 的高頻部份A一個信號和它的小波變換原始信號變換後信號Di 0 圖像是平滑的 壓縮 = 刪除小的 Di小波壓縮：考慮以下 16 個數字：A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7
7、, 6, 5, 4, 3, 2, 1S1 = 3, 7, 11, 15, 15, 11, 7, 3D1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1兩兩相加：A = S1 D1兩兩相減：對S1重複剛才的程序：S2 = 10, 26, 26, 10 D2 = 4, 4, 4, 4對S2重複剛才的程序：S3 = 36, 36D3 = 16, 16S1 = S2 D2S2 = S3 D3最後，我們有S4 = 72，D4 = 0S3 = S4 D4以魚骨來表示：因此A = S4 D1 D2 D3 D4 JPEG (Fourier) 對 JPEG 2000 (小波)未經壓縮處理的 原有圖像的大小 為
8、 15 MBytes再壓縮幾何訊息的壓縮w 將三維圖形影射到球上 w 在球上找一組互相垂直的多項式 ( 球 面調和多項式 ) w 將三維訊息由這組多項式展開 w 壓縮訊息只要保持其中足夠多的多項 式圖像影射到圓球體上壓縮 256 倍後的圖像原來的圖像數據保安數學與社會RSA 公鑰密碼w傳統密碼需要大量密鑰以至密鑰的分 配及管理極為困難w現代保密的常用做法是由 Rivest, Shamir, Adleman 於1978年提出w安全性是基於大整數分解 ( 已知是一 個計算來說極為困難的問題 )w加密鑰可以公開因此稱為公鑰密碼 解密算法依賴數論中的 Fermat 定理 破解 RSA 密碼的主要方法大
9、數分解是 數論中一個重要課題 現今最快的全面性大數分解算法依次 為：二次域篩法，數域篩法，橢圓曲 線法均建基於深刻的數學上RSA 公鑰密碼的數學n = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041一個例子我們取公鑰 e = 1193及國防部要傳遞以下重要訊息：WE_ARE_UNDER_ATTACK_LAUNCH_ THE_MISSILE_NOW29個數位轉化為一個84位的數字：2305000118050021140405180001 2020010311001201211403080020 0805001309191909120500141523將它分為3個28
10、位的數字：M1 = 2305000118050021140405180001 M2 = 2020010311001201211403080020 M3 = 0805001309191909120500141523加密後變成：C1 = 1060546943595003247867569919 C2 = 2485275951856773770355929250 C3 = 13101173280250715817550140912 前述的 n 是兩個大素數 p 和 q 的乘積 要破解密碼必須找到 p 和 q，大數分 解就派上用場n = 63,978,486,879,527,143,858,831,4
11、15,041= p q = 440,334,654,777,631145,295,143,558,111 取 r = (p-1) (q-1) = 63,978,486,879,526,558,229,033,679,300用公鑰 e 算出一個密鑰 d 滿足 e d 1 (mod r) , 1 d rd = 30,568,095,156,186,201,333,234,581,057解密算法：Cd (Me)d M (mod n)原文這個大數經過十七年才給人用二 次域篩法分解出來3490529510847650949147 8496199038981334177646 38493387843990
12、8205773276913299326670954996 1988190834461413177642 967992942539798288533RSA 於 1977 年提出用 n = RSA-129 =1143816257578888676692357799761466120102182 9672124236256256184293570693524573389783059 7123563958705058989075147599290026879543541在2002年，三位印度數學家，Agrawal, Kayak 和 Saxena 發現如何用快速方法來決定一個大整數是素數的方法。這個方法
13、有助於上述 RSA 中因子分解的問題。主要的觀念如下： 設 p 為奇正整數，而 a 為任一與 p 無公約數的整數，則 p 為素數的充份必要條件為(x-a)p = xp - a (mod p)三位印度數學家發現去驗證上述的條件的最佳手法為找到另一正整數 r，使得(x-a)p = xp - a (mod xr-1, p)這個計算極為快速，只須大約 r2 log p 步的計算即可。數學與社會物流貨物及訊息傳輸的數量和容量，都正在 急劇上升，令目前的網絡架構設施不勝 負荷，引致用戶不勝其煩互聯網之應用日益廣泛 如：電子商貿、網上電台等物流與互聯網絡 國際及中港商貿 (CEPA, 9+2) JIT 以減
14、少存倉成本 到達時間離開時間尺寸貨運大樓普通貨物超大貨物香港空運貨站中的貨物傳輸航機班次和容量重量BCDS BCDS & & BSSBSSOversize Oversize StackStack裝載/拆卸 貨物服務時間自動化貨物處理及貯存系統超前時間服務時間服務時間路徑的取捨1. 以最短路徑傳遞貨物及訊息 假如網絡暢通無阻，我們會以最短路徑 傳遞貨物及訊息，節省傳遞時間2. 減低擠塞 若網絡十分擠塞，我們需要尋找別的 路徑，避免擠進閉塞的路徑排隊論 (Queuing Theory)如何建立一個有效的數學模型？ 預算不同地域、不同時間網絡的使用 量 預算貨物及訊息的到達時間和大小 避免眾多貨物及
15、訊息在同一時間擠進單一 伺 服器或同一地域內圖論 (Graph Theory)在網絡上尋找最短路徑尋找所有發送人與接受者之間的可行路徑國際互聯網絡11312公開大學中文大學44253758246782111141由中文大學往公開大學的最短路徑一個數學家創富的故事 F. Thomson Leighton麻省理工學院應用數學 系教授 Akamai Technologies Incorporate (網路數據快 遞服務商) 的創辦人 市場總值逾廿多億美元Akamai 的成功之道傳統的網絡架 構 單一訊息來源 網絡呈樹狀形態 若某一伺服器發生故 障，其分枝將會癱瘓 ，訊息將無法傳遞至 使用者系統在首次
16、發出訊息時， 會將訊息複製及傳播至網 絡邊緣無間斷地傳遞訊息至全世 界每一個角落 若部份伺服器、甚至網絡中樞 發生故障，Akamai 仍能在鄰近 的伺服器內提取使用者所需的 訊息Akamai 分配系統利用圖論、運籌學計算伺服器的 最佳擺放位置Akamai 的網絡覆蓋全球 54 個國家數學與社會風險管理風險管理甚麼叫風險 (Risk)？一般來說，風險是關乎災難發生的 可能性。災難的例子： 911 事件 (紐約) SARS 地震風險可以定義作由災難而導致損失的或然率，這個觀念可以用統計學上的標準偏差 (Standard Deviation) 來描述。現在我們來解釋客觀風險 (Objective Risk) 這個觀點。年份12345 區域 171110913
