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1、稳定性模型1 捕鱼业的持续收获2 军备竞赛3 种群的相互竞争4 种群的相互依存5 种群的弱肉强食稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1)的平 衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.设一阶微分方程模型平衡点的稳定性由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论： 若则x0是稳定的； 若则x0是不稳定
2、的.这个结论对 于(4-1)也是 成立的.代数方程组的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作 P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性如果则称平衡点P0是稳定的.下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设则当p0且q0时，平衡点P0是稳定的；当p0或q0时，平衡点P0是不稳定的.线性常系数 微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根线性常系数 微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点 P0(0,0)微分方
3、程一般解形式平衡点 P0(0,0)稳定平衡点 P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p 0 且 q 0p 0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令 =02 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。 进一步 假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量， y(t)乙
4、方军备数量, 本方经济实力的制约；k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。t 时的x(t)，y(t)平衡点稳定性判断系数 矩阵平衡点(x0, y0)稳定的条件模型军备竞赛模型的定性解释双方军备稳定(时间充分 长后趋向有限值)的条件1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。平衡点2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。模型, 本方经济实力的制约；k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),
5、y(t)很小，但因 ，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备，即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面裁军不会持久。模型的定性解释, 本方经济实力的制约；k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。模型3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。模型假设 有甲乙两个种群，它们
6、独自生存 时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言 ，乙(相对于N2)是甲( 相对于N1) 的 1 倍。对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强模型模型 分析(平衡点及其稳定性)模型仅当1, 2 1时，P3才有意义平衡点稳 定性分析平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平 衡点21,11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点11, 11P1, P2都不( 局部)稳定0(3) 11, 21, 21加上与(4)相区别
7、的 1121 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：11, 21, 121 前提下P2存在的必要条件结果 解释21 甲必须为乙提供足够的食物 甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121条件下使121, 12 0 P: 临界状态q 0 P 不稳定 tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.8
8、3113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解xy 平面上的相轨线计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t), y(t)的周期约为9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)消去dt用相轨线分析 点稳定性c 由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析 点稳定性相轨线时无相轨线以下设y2y1 xQ3
9、Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相轨线退化为P点存在x1x0x2, 使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P中心相轨线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值轨线 中心用相轨线分析 点稳定性T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”领先 y(t)模型解释初值相轨线的方向模型解释r 食饵增长率d 捕食者死亡率b 食饵供
10、养捕食者能力捕食者 数量食饵 数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比, 与a成反比食饵数量与d成正比, 与b成反比模型 解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1, dd+1捕捞战时 捕捞rr-2, dd+2 , 2 1xy食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡, 而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点两种群模型的几种形式 相互竞争相互依存弱肉强食
