平稳随机过程及其遍历性

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1、随机信号分析教学组1.3 平稳随机过程及其遍历性 平稳性：若一个函数 ，当 ，的特性不变，就称 关于 函数是平稳的。对确定函数来说：特性不变指函数值不变。对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，且仅仅对时间变量t而言。分类严格平稳宽平稳（广义平稳）1随机信号分析教学组2随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态

2、过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。随机信号分析教学组3一 平稳随机过程1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。 实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。随机信号分析教学组4(2) 特性 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关时，对于一维概率密度有：随

3、机信号分析教学组5随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的都与时间t无关随机信号分析教学组6二阶平稳(n=2)严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 时，二维概率密度：从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳随机信号分析教学组7都与时间无关随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。若 ，则随机信号分析教学组8随机信号分析教学组9(3) 严平稳随机过程的判断按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程 是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维 概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就 可以判断某随机过程不是严平稳的，

4、具体方法有两个 ：1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。 2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。随机信号分析教学组10实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、

5、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。随机信号分析教学组112 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)若随机过程X(t)满足则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系 ：严格平稳 广义平稳一定不一定当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。随机信号分析教学组12为什么要研究宽平稳随机过程?随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实 际应用中许多随机过程

6、可以近似为平稳信号。且平 稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分 析的基础。物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无 关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平 稳。随机信号分析教学组13例 随机相位信号是否平稳?解X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。随机信号分析教学组14例 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t 。其中X，Y为相互独立的随机变量， 且分别以概率 2/3、1/3取值-1和2。 试讨论随机过程Z(t)的平稳性。随机信号分析教学组15解随机信号分析教学组16Z(t)是广义平稳的 。随机信号分析教学组17Z(t)不是严格平稳的。

7、随机信号分析教学组18例 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？随机信号分析教学组19解所以X(t)是非平稳的 。随机信号分析教学组20二 平稳随机过程自相关函数的性质 数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心 化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。 相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关 联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从 噪声中提取有用信息的工具。要求：(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数；(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。随机信

8、号分析教学组21性质1 平均功率 性质2 偶函数 证：同理随机信号分析教学组22性质3 极值性证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即对于平稳过程X(t)，性质1可知代入前式，可得于是同理当 平稳过程的相关函数具有最大值。 物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。随机信号分析教学组23性质4 若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称 它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足 证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到性质5 若平稳过程含有一个

9、周期分量，则自相关函数 含有同一个周期分量。 自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。随机信号分析教学组24例：设随机过程为式中 为常数， 为 上均匀分布的随 机变量， 为一般平稳过程，对于所有t 而言， 与 统计独立。则易得出相关函数为可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。随机信号分析教学组25性质6 若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，则满足物理含义：当 增大时， 与 之 间相关性会减弱，在 的极限情况下，两者相互独立。随机信号分析教学组26性质7 若平稳过程含有平均分量(均值) ，则相 关函数也含有固定分量 , 即则若X(t)是非周期的，自相 关

10、性 函数 确定 方差由协方差函数的定义，可得由此若X(t)是非周期，则有证：且在t=0时,可得2)(XXmR=随机信号分析教学组27平稳随机过程必须满足 对所有 均成立。 性质8 自相关函数的傅里叶变换是非负的，限制了 自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求 相关函数是连续的（平顶，垂直边均是非连 续）即：不能出现平顶、垂直边或在幅度上 的任何不连续。随机信号分析教学组28平稳过程相关函数的典型曲线)(t XR2Xs)0( XR2Xmt0随机信号分析教学组29随机信号分析教学组30平稳过程的相关系数和相关时间对于平稳随机过程X(t)的两个不同时刻t和 的起 伏值的关联程度，可以用自协方差表示。

11、但是， 还与 和 的强度有 关，若 或 很小，即使两者的相关程 度较强，则 也不会太大，所以并不能准确表示关联 程度的大小。为了消除起伏值强度对 的影响，需 要对协方差函数作归一化处理，引入相关系数。随机信号分析教学组31此值在1，1之间。 表示不相关， 表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻 起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大 。 相关系数也称为归一 化协方差函 数或标准协 方差函数表征随机过 程在两个不 同时刻的状 态之间的统 计关联程度随机信号分析教学组32 相关时间对于一般的随机过程而言，随着时间间隔 增大相 关程度减弱，因此相关系数也随着减弱，当间隔大到一 定程度

12、（假定为 ），相关系数很小可以认为起伏值不 相关了，这个时间就称为相关时间。随机信号分析教学组331 通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ， 记做相关时间, 即: 时的时间间隔 为 相关时间。2 有时我们用矩形（高为 ,底为 的矩形） 面积等于 积分的一半来定义相关时间即相关时间示意图随机信号分析教学组34物理意义：相关时间 越小，就意味着相关系数 随 增加而降落的越 快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表时随机 过程随时间变化越慢。相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化 越缓慢，相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱， 变化越缓慢。 两

13、个不同相关时间随机过程的样本函数 050100-4-2024050100-10-50510随机信号分析教学组35例：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100求X(t)的均值、均方值和方差。 随机信号分析教学组36RX(t) =(100cos10t)+(100e-10|t|+100)= RX1(t)+ RX2(t)RX1(t)=100cos10t是X(t)中周期分量的自相关函数， 此分量的均值mx1=0 RX2(t)=100e-10|t|+100是X(t)的非周期分量的自相关函 数，由性质6可知，所以有解：随机信号分析教学组37例：已知平

14、稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值和方差。随机信号分析教学组38解：由性质6可知由性质7可知随机信号分析教学组39例： 已知随机过程X(t)与Y(t)的协方差函数比较两个过程的起伏速度随机信号分析教学组40解: 由随机过程的协方差函数，得出X(t)、Y(t)的方差由于 ，故过程X(t)比Y(t)起伏速度快。由定义得出X(t)、Y(t)的相关系数X(t)、Y(t)的相关时间随机信号分析教学组41三 遍历(Ergodic)随机过程（各态历经性） 每当提及随机过程时，意味着要涉及大量的样本函 数的集合。要得到随机过程的统计特性，需要观察大量 的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对

15、大量 样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到 的数字特征。这种平均称为统计平均或集合平均。显然 ，取统计平均所需要的试验工作量很大，处理方法也很 复杂。这就使人们自然想到，根据平稳随机过程统计特 性与记时起点无关这个特点，能否找到更加简单的方法 代替上述的方法。辛钦证明：在具备一定的条件下有平稳随机过程的 任意一个样本函数取时间平均（观察时间足够长），从 概率意义上趋近于该过程的统计平均值。这样的随机过 程，称具备各态历经性或遍历性。随机信号分析教学组42随机过程各态历经性可以理解为：随机过程的各样 本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此 从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的 全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地 代表整个随机过程的特性。问题：随机过程 的各数字特征（集合平均），能否