《2011届高考数学总复习第一轮课件人教版(理)立体几何9.4空间角与空间距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学总复习第一轮课件人教版(理)立体几何9.4空间角与空间距离（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.4 空间角与空间距离基础知识 自主学习要点梳理1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作aa，bb，我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2）范围：锐角（或直角）2.斜线与平面所成的角（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的 所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成 角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成 角.（2）范围： .3.二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 .射影090二面角二面角的棱二面角的面（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为 ，在两个面
2、内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做.(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的 来度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.端点二面角的平面角平面角三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.射影法：利用面积射影公式 ，其中S原为原斜面面积，S射为射影
3、面积，为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来.（4）范围：0，.S射=S原cos 4.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的的长度.5.求距离的常用方法与一般步骤（1）求距离的常用方法直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离.公垂线段（2）求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）；“三计算”：
4、即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取.基础础自测测1.（2008福建文，6）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 （ ）解析 如图所示，连结A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角.答案 D2.在ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA平面ABC，PA=8，则P到BC的距离为 （ ）A. B.2 C.3 D.4解析 取BC中点E，连结AE、PE，由AEBC知PEBC，即PE为点P到BC的距离.D3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分
5、别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是 （ ）A.45 B.60 C.75 D.90解析 如图所示，ACD1为正三角形，AD1BC1EF，直线EF与直线D1C所成的角为60.B4.（2009湖北文，6）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90,ACC1=60,BCC1=45,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于 （ ）解析 如图，过点C1作C1O平面ABC，连结CO，则CC1与平面ABC所成的角为C1CO.记C1CO=，设OCB=,由最小角定理知cosC1CB=cos cos ,cosACC1=cos cos(90-).答案 A5.线段AB长为2，两个端点A、
6、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角分别是45和30，那么点A、B在这个二面角的棱上的射影C、D间的距离是 （ ）解析 如图，AC,BD,AB=2,ABC=30,DAB=45.BC= ,BD= .BDCD,A题型分类 深度剖析题型一 斜线与平面所成的角【例1】 如图所示，已知BOC在平面内，OA是平面的斜线，且AOB=AOC =60，OA=OB=OC=a,BC= a，求OA和平面所成的角.首先应确定A点在平面内射影的位置,这样就可得到OA与平面所成的角,进而求之.解 OA=OB=OC=a，AOB=AOC=60,AOB、AOC为正三角形.AB=AC=a.思维启迪BC= a，AB2
7、+AC2=BC2， BAC为直角三角形.同理BOC也为直角三角形. 过A作AH垂直平面于H，连结OH，AO=AB=AC，OH=BH=CH，H为BOC的外心.H在BC上，且H为BC的中点. AOH为直线OA与平面所成的角.即AO和平面所成的角为45.探究提高 （1）确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.（2）求斜线与平面所成角的步骤：寻找过直线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角；把该角放入三角形中计算.（3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面
8、内诸情况，也就是直线和平面成90角和0角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种特例.知能迁移1 如图所示，AB平面BCD，DCCB，AD与平面BCD所成的角为30，且AB=BC.求AD与平面ABC所成角的大小.解 AB平面BCD,ADB=30.CDCB,由三垂线定理得DCCA,ACCB=C，DC平面ABC,即CAD是AD与平面ABC所成角.设AB=BC=a,则AC= a,BD= a,AD=2a.在RtACD中,CAD=45,即AD与平面ABC所成的角为45.题型二 求二面角的大小【例2】 如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90,PA平面ABCD，PA=3，A
9、D=2，AB=2 ，BC=6.（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角PBDA的大小.对于问题（2），由（1）知棱BD平面PAC，则可找到二面角的平面角.（1）证证明 PA平面ABCD，BD 平面ABCD，BDPA.思维启迪ABD=30,BAC=60,AEB=90,即BDAC，又PAAC=A，BD平面PAC. （2）解 如图所示，连结PE，BD平面PAC，BDPE，BDAE，AEP为二面角PBDA的平面角.在RtAEB中，AE=ABsinABD= ，AEP=60,二面角PBDA的大小为60.利用垂面法找出平面角再转化到直角三角形中求解.探究提高知能迁移2 如右图，在直三棱柱ABCA1B1C1
10、中，BAC=90，AB=AC=a,AA1=2a,D为BC的中点，E为CC1上的点，且（1）求证：BE平面ADB1；（2）求二面角BAB1D的大小.（1）证证明 由AB=AC，D是BC的中点，得ADBC，从而AD平面B1BCC1.又BE 平面B1BCC1，所以ADBE.由已知BAC=90,AB=AC=a,得BC= a,在RtBB1D中，于是BB1D=CBE,设EBDB1=G,BB1D+B1BG=CBE+B1BG=90，则DB1BE.又ADDB1=D,故BE平面ADB1.（2）解 如右图，过点G作GFAB1于F，连结BF.由（1）及三垂线定理可知BFG是二面角BAB1D的平面角.在RtABB1中，
11、由BFAB1=BB1AB，在RtBDB1中，由BB1BD=BGDB1，所以在RtBFG中，故二面角BAB1D的大小为题型三 点到直线、点到平面的距离【例3】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1,AB=CC1=a,BC=b.（1）设E,F分别为AB1,BC1的中点，求证：EF平面ABC;（2）求证：A1C1AB;（3）求B1到平面ABC1的距离.（1）线线平行或面面平行 线面平行；（2）线面垂直 线线垂直；（3）求垂线段长或用等积法.思维启迪（1）证证明 分别取AB，BC的中点M，N，连结EM，MN，FN，从而EM FN，即四边形EFNM是平行四边形，EFMN.而EF 平面ABC,MN
12、 平面ABC，故EF平面ABC.（2）证证明 连结A1B,ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1AB.又AB=CC1=AA1,ABB1A1是正方形，从而AB1A1B.AB1BC1,AB1平面A1BC1,A1C1AB1,而A1C1AA1,A1C1平面ABB1A1.又AB 平面ABB1A1,A1C1AB.（3）解 A1B1AB，A1B1平面ABC1,于是B1到平面ABC1的距离等于A1到平面ABC1的距离，过A1作A1HAC1于H.由（2）知，BA平面ACC1A1，BAA1H，于是A1H平面ABC1.在RtA1AC1中，AA1=CC1=a，求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平
13、面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离.如本题（3）的如下解法即用等积法 即将各数据代入可得h的值.探究提高知能迁移3 如右图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，若AB=a，PD=a，求：（1）P到正方形各顶点的距离；（2）P到正方形各边的距离；（3）P到两条对角线的距离.解 （1）P到各顶点的距离分别为PA、PB、PC、PD的长.PD平面ABCD，PDAD，PDDC，PDBD，PAD、PCD、PBD是直角三角形.PD=a，AB=a，四边形ABCD为正方形，PA= a，PB= a，PC= a，PD=a.（2）由图形易知P到AD、C
14、D的距离都是PD=a.P到BC的距离为PC，即为 a,P到AB的距离为PA，即为 a.（3）ACBD，DOAC.又PD平面ABCD，AC 平面ABCD，PDAC,POAC.故PO的长就是P到对角线AC的距离而P到对角线BD的距离为PD的长，PD=a.故P到BD的距离为a，到AC的距离为题型四 求异面直线间的距离 【例4】 （12分）设ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1=1 cm，AB=4 cm，BC=3 cm，ABC=90， 设过A1、B、C1的平面与平面ABC的交线为l.（1）判断直线A1C1与l的位置关系，并加以证明；（2）求点A1到直线l的距离；（3）求点A到平面A1BC1的距离；（4）作CHBC1，垂足为H，求异面直线AB与CH之间的距离.（1）利用线面平行的性质定理可知A1C1l;（2）点A1到l的距离可借助三垂线定理来寻求；（3）关键是找出点A到平面A1BC1的距离，注意运用图形中垂直关系，特别是面面垂直的关系；（4）关键是找出异面直线AB与CH的公垂线段.思维启迪解题示范解 （1）A1C1l. 1分证明如下：A1C1平面ABC，A1C1 平面A1C1B，平面A1C1B平面ABC=l，A1C1l. 3分（2
