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1、第二章 插值与拟合总结2 连续函数的最佳平方逼近1 连续区间上正交多项式2.4 正交多项式和最佳平方逼近第二章 插值与拟合2.4 正交多项式和最佳平方逼近正交多项式是数值计算中的重 要工具，这里只介绍正交多项式的 基本概念、某些性质和构造方法。 离散情形的正交多项式用于下节的 数据拟合，连续情形的正交多项式 用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们 在数值分析的其他领域中也有不少 应用。第二章 插值与拟合 1 连续区间上正交多项式连续区间上的正交多项式的概念与离散 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 的定义作相应的改变 。定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连
2、续意义下的内积定义为 （1）其中的 (x)0为给定的权函数。按连续意义下的内积，若多项式组k(x)k=0,n 满足条件(1),则称它为在区间a,b 上的带权 (x)的正交多项式序列。第二章 插值与拟合事实上，例2.17 三角函数组 上关于权函数1的正交组。第二章 插值与拟合正交多项式的三项递推公式:是首项系数为1的i次多项式，则 满足递推公式:第二章 插值与拟合下面给出几种常用的正交多项式.(1) 勒让德（Legendre）多项式.正交多项式记为 ，由三项递推公式得 (2.4.7)它们是在区间 -1,1上的带权 (x)=1的正交多项式.它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称
3、.第二章 插值与拟合(2)第一类Chebyshev多项式.第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式给出.它们是在区间-1,1上的带权 的正交多项式.(2.4.8 )第二章 插值与拟合它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原 点对称。前几个第一类Chebyshev多项式如下:第二章 插值与拟合（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。Laguerre多项式可由三项递推公式给出。它们是在区间0,+)上带权 的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下: 第二章 插值与拟合它们的根都是在区间（0，+）上的单根。第二章 插值与拟合 (4) Hermite 多项式Hermite多项式可由三
4、项递推公式给出。它们是在区间（-，+）上带权 的正交多项式。第二章 插值与拟合它们的根都在区间（-，+）上的单根，并且与原点对称前几个Hermite多项式如下：第二章 插值与拟合 2 连续函数的最佳平方逼近连续函数空间Ca,b上定义了内积（2.4.6） 就形成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都可用它的线性无关的基表示。类似地，对内积空 间任一元素f (x) Ca,b，也可用线性无关的基表示。第二章 插值与拟合例如 函数组,其中线性无关。定理2.9 在a,b上线性无 关的充要条件是它的Gramer行列式Gn，其中第二章 插值与拟合特别地，它的Gramer行列式Gn是对角矩阵。第二章 插值与拟
5、合 函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小(不同的度量意义)2.函数逼近问题的提出下面讨论在区间a,b上 一般的最佳平方逼近问题。 下面我们讨论在区间a, b上函数的逼近问题。第二章 插值与拟合则称 是 f (x)在 中的最佳平方逼近函数。对于f (x)Ca,b,若存在 ，使得设是Ca , b中的线性无关函数,记定义2.12 (最佳平方逼近函数)(2.4.11)第二章 插值与拟合讨论讨论 最佳平方逼近函数的存在性，唯一性及计计算方法。(1)存在性，唯一性原问题转问题转 化为为求数分知识, 它有稳定解第二章 插值与拟合取得极小值。第二章 插值与拟合这是关于aj(j=0
6、,1,n)的线性方程组，称为 法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为(2.4.13)第二章 插值与拟合由(2.4.12)知(2.4.14)误差 与基 函数 正交第二章 插值与拟合事实上, 非负误差与基函数正 交第二章 插值与拟合(3) 平方误差总结上述讨论则有定理2.10-2.12.第二章 插值与拟合第二章 插值与拟合H几何解释：第二章 插值与拟合证： 法方程组的系数矩阵为第二章 插值与拟合定理2.12 （最佳平方逼近）(2) 函数类(2.4.15)第二章 插值与拟合考虑特殊情形-用多项式1,x,x2,xn,作n次最 佳平方多项式p*(x)逼近步骤/方法(权函数为时， a,b=0,1)解法
7、方程组 Ga=d第二章 插值与拟合法方程Ga=d中的系数矩阵为称之为Hilbert 矩阵。第二章 插值与拟合第二章 插值与拟合第二章 插值与拟合说明:上式中矩阵G 称为Hilbert矩阵,是一个著名 病态矩阵（见第4章）,即当某个元素有微小变化时 ,引起解的变化很大,且当n 越大时，病态愈严重。 求Ga=d比较准确的计算解就很困难.当n很大时它 的精度便由舍入误差影响而迅速恶化。补救的办法 就是取正交多项式作基。改进:用正交多项式作最佳平方逼近.第二章 插值与拟合 (2)用正交多项式作最佳平方逼近方法（步骤）：求内积：解法方程组第二章 插值与拟合平方误差优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，解法方程 组变得简单了。 第二章 插值与拟合 工程中常用的五种重要的正交多项式第二章 插值与拟合 在-1，1上3次最佳平方逼近多项式。例2.18解：法方程组为第二章 插值与拟合平方误差第二章 插值与拟合法方程组为第二章 插值与拟合第二章 插值与拟合本节介绍了最佳平方逼近的基本理论(即最佳平方逼近多项式的 存在性、唯一性)及计算方法。用多项式作最佳平方逼近存在缺陷 ，补救的方法是取正交基。即正交多项式的最佳平方逼近。总结：理解最佳平方逼近的理论推导并会求最佳平方逼近多项式。第二章 插值与拟合
