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1、第三章 图像变换第三章 图像变换3.1 引言 3.2 连续与离散的傅立叶变换 3.3 二维离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform：DFT)性质 3.4 快速傅立叶变换 3.5 离散余弦变换(Discrete Consine Transform：DCT)第三章 图像变换3.1 引言 3.1.1 概述图像表示像素的二维阵列（矩阵）看成一组正交基合成傅立叶变换（Fourier Transform) 属于 第二种表示, 把图像看成一组正弦、余弦谐 波合成。第三章 图像变换 为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。 一些在空间域表述困难的增强
2、任务，在频率域中变得 非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波 的某些性质。 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。 有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波， 实施在空间域进行。3.1.1 概述第三章 图像变换3.1.1 概述由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变 换有以下三方面的要求：1. 变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换 回来。2. 变换应使处理得到简化。3. 变换算法本身不能太复杂。图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换(DFT)，沃 尔什(Walsh)变换，离散余弦变换(DCT)及哈特林(Hote
3、ling) 变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础， 在图像处理中广泛应用。第三章 图像变换图像变换图像转换到另一种空间处理，特有性质图像处理和分析的数学基础图像变换可分离变换统计变换Fourier变换(DFT)DCTWHT STHT, Wavlet Transform3.1.1 概述Hotelling（KL变换）第三章 图像变换3.1.2 线性系统1.系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任 何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数 ，输出是相同变量的另一个函数。系统x(t)输入y(t)输出f(x,y)输入 g(x,y)输出系统第三章 图像变换3.1.2 线性系统2.线性系统的
4、定义： 1) 对于某特定系统，有： x1(t)y1(t) (输入x1(t)产生输出y1(t)） x2(t)y2(t) (输入x2(t)产生输出y2(t)）该系统是线性的，则 ax1(t)+bx2(t)ay1(t)+by2(t)(输入ax1(t)+bx2(t)就产生输出ay1(t)+ by2(t)，其中a，b是常数） 即系统的响应遵守叠加原理第三章 图像变换3.1.2 线性系统2)线性系统移不变性的定义： 对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有： x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有移不变性 线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。第三章 图像变换3.2 连续与
5、离散的傅立叶变换3.2.1 连续傅立叶变换要研究波形由哪些频率组成的，需 要把输入信号用一维傅立叶变换成频 率域的信号，这是在处理和分析时间 波形等一维信号方面的一个重要手段 。 第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换1.一维连续傅立叶变换： 定义 设 f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换表示为Ff(x),即：或写为：其中 j2 = -1第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换如果给定F(u),f(x)可以由傅立叶逆 变换得到：第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换几个概念假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立 叶变换可能为复函数： F(u) = R(u) + j
6、I(u)（1） f(x)的傅立叶模（傅立叶谱）记为： |F(u)| |F(u)| = R2(u) + I2(u)1/2（2） f(x)的傅立叶模平方（能量谱）记为： P(u) P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u)第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换（3）f(x)的傅立叶相位记为： (u) (u) = tan-1 (I(u) / R(u) 把F(u)写成指数形式：F(u)=F(u)ej(u)（4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于尤拉公式中的指数项exp-j2ux = cos2ux - jsin2ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和的极 限，则易
7、推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和， 其中u的每个值决定了其相应cos, sin函数对的频率。第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换2. 二维连续傅立叶变换对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行 各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做 空间域（space domain)。空间频率（space frequency)表示单位长度上的正弦浓 淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于x轴方 向和y轴方向的空间频率为u, v的二维平面（空间频率域）来表示。第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换yxuva) 只在
8、x轴方向有正弦 波形状浓淡变化的场合空间域（正弦波形的浓淡变化 ）空间频率域空间频率第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换uvb) 在斜方向上有正弦波 形状浓淡变化的场合第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则 存在以下傅立叶变换对，其中u,v为频率变量：第三章 图像变换3.2.1 连续傅立叶变换二维傅立叶模、相位和模平方分别为：模（傅立叶谱）： |F(u,v)| = R2(u,v) + I2(u,v)1/2相位： (u,v) = tan-1 (I(u,v) / R(u,v)模平方（能量谱）：P(u,v) = |F(u
9、,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v)第三章 图像变换3.2.2 卷积这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为 卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像 处理技术是十分重要的。其中是积分伪变量。卷积的定义两个函数f(x)和g(x)的卷积记作f(x)*g(x)，由下 式所定义：第三章 图像变换3.2.2 卷积卷积定理：如果f(x)的傅立叶变换是F(u)，并且g(x)的傅立叶变换 是G(u)，那么即f(x)*g(x)的傅立叶变换是F(u)G(u)一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在x 域中的乘积，即以上两个结论称为卷积定理。第三章
10、图像变换3.2.2 卷积二维卷积公式：其中, 是伪积分变量。 卷积定理：式中f(x,y)的傅立叶变换是F(u,v)，g(x,y)的傅立叶变 换是G(u,v)第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换(discrete Fourier transform：DFT)为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信号与频谱应有如下要求：(1) 它们都应是离散的；(2) 空域与频域都应为有限的。第三章 图像变换1.一维离散傅立叶变换假设连续函数f(x),通过取N个x单位的采样点 ，被离散化为一个序列：f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),f(x0+N1 x)这里定义：f(x) = f(x0+ xx)其中
11、假设x现在的离散值是：0,1,2, ,N-1。f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),.,f(x0+N1x)表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采样 。第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换当f(x)的取样始于原点，就可以用 f(0),f(1),f(2), . , f(N1)来表示f(x0), f(x0+x) , f(x0+2x), ,f(x0+(N1) x)的等间隔的采样值序列。第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换函数f(x0+xx)的离散傅立叶变换对有： 正变换u=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.N-1逆变换第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换注意：式中u=0
12、,1,2, ,N-1, 这也类似于x, F(u)也 是一个取N个等量间隔u取样后的离散函数，它 可表示为F(u) = F(u0+ uu), 若F(u)的取样始于原 点，则相应为u,2 u, ,(N-1) u , 即F(u)=F(u u)。最终形成傅立叶变换对： f(x) F(u)第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换2.二维离散傅立叶变换 正变换u=0,1,2,M-1; v=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.M-1; y=0,1,2,.N-1逆变换第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换若M=N 正变换u,v=0,1,2,.N-1x,y= 0,1,2,.N-1逆变换第三章 图像变换3
13、.2.3 离散傅立叶变换式中 u,v = 0,1, , N-1 式中 x, y = 0,1, , N-1或： 令 则第三章 图像变换几点说明： 以上式子不是唯一的表示式1) 前面的系数也可以在逆变换前面加 1/N2, 还可以正、反 变换前各加 1/N。如：或第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换 傅立叶的正变换核为：2) 指数项也可以用相反的正、负号。第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换经常用亮度函数，通过对傅立叶变换模的显示，来显示傅 立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要 进行动态值域的压缩。另外，因为图像的亮度（灰度）正比于|F(u,v)|的幅度。 但是，许多图像
14、的傅立叶谱随着频率的增加而迅速减小，使 高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效 果，常用下面的D(u,v)函数来代替|F(u,v)|，即： D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k;k = max(log(1 + |F(u,v)|) 离散傅立叶变换的显示第三章 图像变换 矩阵表示（当M=N 时）正变换：即：这里第三章 图像变换逆变换：即：第三章 图像变换3.2.3 离散傅立叶变换3.离散卷积 离散一维卷积离散二维卷积的定义-相关的定义记为：h(t)=f(t)g(t)第三章 图像变换卷积定理小结 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽 带。3.2.3 离散傅立叶变换
