概率论与数理统计教程 (2)

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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1 1页页1.3 概率的性质第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2 2页页概率的定义就称P为F上的概率测度，简称为概率，称(,F,P)为 概率空间.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第3 3页页性质1.3.1 P()=0.注意: 逆不一定成立. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第4 4页页性质1.3.2 (有限可加性) 若AB=，则 P(AB) = P(A)+P(B).可推广到 n 个互不相容事件.性质1.3.3 (对立事件公式)P( )=1P(A). 1.3.1 概率的可加性第一章第一章 随

2、机事件与概率随机事件与概率* *第第5 5页页(1) = + +P()= P( + +)= P() +P ()+P ()+ (公理3可列可加性)P ()=P ()+ P ()+ ,故P ()=0 (2) A1 + A2 + + An = A1 + A2 + + An + + +P(A1 + A2 + + An )= P(A1 + A2 + + An + + +)= P(A1) + P( A2) + + P(An ) + P() + P() + 故P(Ai)= P(Ai) (i=1,2,n). (3) A1,A2,An, 构成一个完备事件组,即它们互 不相容,且 Ai= . 所以,P(Ai) =

3、 P(Ai)= P()= 1.概率性质的证明第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第6 6页页性质1.3.4 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)；若AB，则 P(A) P(B).性质1.3.5 P(AB) = P(A)P(AB).1.3.2 概率的单调性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第7 7页页(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC )+P(ABC)1.3.3 概率的加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第8 8页页B B(4)(4)A A概

4、率性质的证明(4):思路:将B化为两个互不相容事件的和后,用性 质2. B= (B A )+ A, 且B A与A互不相容， P (B)= P(B A ) + P(A) i.e. P(BA)=P(B)P(A) 再由非负性公理, P(B A ) 0,可得P(B)P(A) . (6):思路:利用两个互不相容事件和的公式 A+B=A+(BAB)（利用图形直观理解!） P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)- P(AB)A AB B(5) (5)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第9 9页页AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的

5、对立事件的概率。解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)例1.3.1得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，所以 P( ) = 10.2 = 0.8.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1010页页例1.3.2解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB). 第一章第一章 随

6、机事件与概率随机事件与概率* *第第1111页页练习 1:设P(A)=1/3, P(B)=1/2.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1212页页 解答第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1313页页例1.3.3解：因为A、B、C 都不出现的概率为= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率*

7、 *第第1414页页口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从 口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑 球.求第k 次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为“第k 次取到白球” .而“第k 次取到白球” 意味着：“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1515页页例1.3.5解：记 B = “至少出现一次双6点”， 则所求概率为两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1616页页例1.3.4解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”

8、，则所求概率为一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1717页页从 1, 2, , 9中返回取n次， 求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。 因此所求概率为 P(AB). 利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1818页页n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子 的概率. 记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n. 求 P(A1A2A

9、n)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4) 配对模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第1919页页P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n! P(A1A2An)=配对模型(续)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2020页页甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题 ) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率 . 利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为 P(甲正乙正)= P(

10、n+1-甲反 n-乙反) = P(甲反-1乙正) (对称性)所以 2P(甲正乙正)=1, 由此得 P(甲正乙正)=1/2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2121页页 因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限 ” . 本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4 概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2222页页 若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件 为事件序列的极限若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2

11、323页页设P()是一个集合函数，(1) 若任对单调不减集合序列Fn，有则称P()是下连续的.集合函数的连续性(2) 若任对单调不增集合序列Fn，有则称P()是上连续的. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2424页页性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函 数，则P() 既是下连续的，又是上连续 的.概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2525页页性质1.3.8若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P() 有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第

12、第2626页页问题的提出：1) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：第1个人中彩的概率为多少 ？第2个人中彩的概率为多少 ？2) 10个人摸彩，有3张中彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少 ？ 1.4 条件概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2727页页引例例例：试验E为掷一颗骰子，A=“掷出偶数点”，B=“ 掷出2点”。求P(A), P(AB), P(B|A)。 解：样本空间=1,2,3,4,5,6,A=2,4,6,B=2P(A)=n A/n=3/6 , P(AB)=n AB/n =1/6; 在A发生的条件下,许多不确定因素已排 除，故样本空间从变为A，则P(

13、B|A) =1/3=(1/6)/(3/6)= P(AB)/P(A) 考虑P(B|A)表示的前提是A发生,这时计算概率时的样 本空间变成了A,而不是; P(B|A)是在A发生的条件下 ,B 发生的概率,故A,B都要发生;因此, P(B|A)等于 P(AB)与P(A)的比.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2828页页定义1.4.1对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.1.4.1 条件概率的定义第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第2929页页1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=

14、B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).条件概率 P(A|B) 的计算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第3030页页古典概型中条件概率的计算设试验为古典概型， = n ,A=m , AB=k,P(B|A)= P(AB)/ P(A) =(AB/ )/(A/ )=(k/n)/(m/n)=k/m P(B|A)= k/m,其中m为A的样本点数，k为AB 的样本点数 比较P(B|A)= k/m 和 P(BA)= k/n考虑的样本空间是A考虑的样本空间是第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第3131页页10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个， 已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解：设 A = 第一个取到次品，B = 第二个取到次品，例1.4.1第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率* *第第3232页页 条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理. 由此得：P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)；若 A 与 B 互