《信号与线性系统分析课件(第四版)吴大正连续系统的时域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与线性系统分析课件(第四版)吴大正连续系统的时域分析（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 连续系统的时域分析 时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的 数学模型（微分方程）求得其响应的方法。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t， 故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理 概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求 解线性微分方程。本章主要内容 2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+值 三、零输入响应 四、零状态响应 五、全响应 其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)
2、(特解） 齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征 根确定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的经典解 表21 不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根et ？r重实根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一对共轭复根 1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或A
3、cos(t-)其中A e j =C+jD r重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激 励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由 响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应 。问：若f(t)=c（常数），特解形式？ 解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2， 2= 3。齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？ 因为f(t) = 2e t，故其特解可设为 yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得 Pe t
4、+ 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1 于是特解为yp(t) = e t例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解为： y(t) = yh(t) +
5、 yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激 励信号共同来确定 自由响应强迫响应 解：齐次解同上。由于f(t)=e2t，其指数与特征根之一 相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得P1e-2t = e2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得C1 + P0
6、= 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0， 因而也不能区分自由响应和强迫响应。（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。二、关于0-和0+值 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了 系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状 态或起始值。 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-) 设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时 用t = 0+时刻的初始值，即
7、y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历 史信息。 解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 由于上式对于所有t都成立，等号两端(t)项的系数 应相等。 由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y(t)在t= 0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由 于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故y(0+) = y(0-) = 2例：描述某系统的微分方程为y”(
8、t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且 y(t)在t=0连续，故对式(1)两端积分有于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因为y(0+) = y(0-)=2 ，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数） 时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果 右端不含时，则不会跃变。三、零输入响应 y(t) =
9、 yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：由于激励为零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0- ), (j=0,1,n-1)四、零状态响应 方程仍为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入
10、 ，故应有yzs(j)(0-)=0； 若微分方程的特征根均为单根，则其零状态 响应为Czsj 为待定系数，yp(t)为方程的特解 解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t) 满足yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 该齐次方程的特征根为1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= 2 ， 代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例：描述某系统的微分方程为y”(
11、t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和 零状态响应。注意此时系数C的求法 ！ yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从 而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0 连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得（2）零状态响应yzs(t) 满足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 对
12、t0时，有yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3 ， 于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作 用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输 入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) 虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解 ，但两者的系数各不相同，czij仅由系统的初 始状态所决定，而cj由系统的初始状态和激励 信号共同来确定。
13、 也就是说，自由响应包含零输入响应的全部和 零状态响应的一部分。讨论2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T0,(t) 例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含 (t)，h(t)含(t
14、)，h(0+)h(0-)，考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对t0时，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 解根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程
15、可知， h(t) 中含(t) 故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 为不含(t) 的某函 数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有例2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。 整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系数匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = (t) + p1(t) （2）
