《高二数学向量的数乘运算及其几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学向量的数乘运算及其几何意义（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 复习复习1:1:向量的加法向量的加法BA如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+b.a+b.ba o.OO. .C Ca+bb aABba+ba复习复习2:2:向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a-b.a-b.aba-b o.BAab练习练习1:1:OAPB探究探究: : 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图如图, ,已知向量已知向量a,a,作向量作向量a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a).(-a)+(-a).aa-aaa-aO
2、A= a+a+aPB= (-a)+(-a)=3a=-2a定义定义: :特别地，当特别地，当 =0 =0 或或 a = 0 a = 0 时时, a = 0, a = 0(2) (2) 方向方向 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；(1) (1) 长度长度 |a|=|a|=| |a|a|一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作aa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：练习练习2:2:结论 :2a+2b2
3、b(2) (2) 已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)和和2a+2b2a+2b，并比较。，并比较。ab结论 :2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a )a2(a+b)2a3(2a)=6a (2+4)a=2a+4a(1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)3(2a)和和(6a) (a(6a) (a00) )，并比较。，并比较。(a)=() a(a)=() a 运算律运算律: : 设设a a、b b为任意向量，为任意向量，、为任意实数，则有：为任意实数，则有： (+) a=a+a(+) a=a+a (a+b)=a+b(a+b)=a+b2(
4、a+b)练习练习3:3:解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =计算：计算：( (口答口答) )(1) (-3)4 a (1) (-3)4 a(2) 3( a+b) (2) 3( a+b) 2( a-b)-a2( a-b)-a(3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c )(3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c-1
5、2a -12a向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量 对于任意的向量 a,b a,b 以及任意实数以及任意实数 , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)=1a2b思考思考: :定理定理: :当当a a与与b b同方向时，有同方向时，有b=a;b=a;当当a a与与b b反方向时，有反方向时，有b=-ab=-a，所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使b=ab=a。向量向量b b与与非零向量非零向量a a共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一 一个实数一个实数，使得，使得 b=a.b=a.1 1、如果、如果 b=a ,
6、b=a , 那么，向量那么，向量a a与与b b是否共线？是否共线？ 2 2、如果非零向量、如果非零向量a a与与b b共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使b=a b=a ？对于向量对于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得 b=a , b=a , 那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量a a与与b b共线。共线。若向量若向量a a与与b b共线，共线，a0a0，且向量，且向量b b的长度是的长度是a a的长的长 度的度的倍，即有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,且且例题例题1:1:AEDCB解：解：=3 AC=3( AB+
7、 BC ) AB+BC=AC=3 AB+3 BC又 AE=AD+DE AC与AE 共线如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BC，试判断，试判断ACAC与与AEAE是否共线是否共线? ?变变：若B、C分别是AD、AE的三等分点，证明：BCDE。例题例题2:2:解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想:A:A、B B、C C三点共线三点共线 A A、B B、C C三点共线三点共线. .abbb已知任意两非零向量a、b，试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba AB=OB-OAAB=OB-OA
8、AC=2ABAC=2AB又又AC=OC-OAAC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又 ABAB与与ACAC有公共点有公共点A A，练习练习4:4:P P100100 33、4 4、5 5小结回顾小结回顾: :二、知识应用：二、知识应用：1.1.证明证明 向量共线；向量共线；2.2.证明证明 三点共线三点共线: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三点共线；三点共线；3.3.证明证明 两直线平行两直线平行: :AB=CD ABCD AB=CD ABCDAB AB、CDCD不重合不重合直线直线ABAB直线直线CDCD一、概念与定理一、概念与定理 a a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 ( a0 )( a0 )b=a b=a 向量向量a a与与b b共线共线作业作业: :P P102102 99、1212、1313谢谢 谢谢 ! !太原代怀孕 http:/ 太原代怀孕 杀鬻搋
